Inom Galoisteori, en del av matematiken, är det inversa Galoisproblemet ett problem som handlar om huruvida varje ändlig grupp förekommer som Galoisgruppen av någon Galoisutvidgning av rationella talen . Detta problem, först framlagt på 1800-talet,http://udini.proquest.com/view/the-inverse-galois-problem-and-pqid:2439411211 är fortfarande olöst.
Mer allmänt, låt vara en ändlig grupp och en kropp. Då är frågan: finns det en Galoisutvidgning vars Galoisgrupp är isomorfisk ? Om en sådan utvidgning existerar, säges vara realiserbart över .
Partiella resultat Det finns mycket detaljerad information i specialfall. Det är känt att varje ändlig grupp är realiserbar över en godtycklig funktionskropp i en variabel över komplexa talen , och mer allmänt över funktionskroppar i en variabel över en godtycklig algebraiskt sluten kropp i karakteristik noll. Sjafarevitj bevisade att varje ändlig lösbar grupp är realiserbar över .I.R. Shafarevich, The imbedding problem for splitting extensions, Dokl. Akad. Nauk SSSR 120 (1958), 1217–1219. Det är även känt att varje sporadisk grupp, förutom möjligtvis Mathieugruppen , är realiserbar över .p. 5 of Jensen et al., 2002
Hilbert har bevisat att denna fråga är relaterad till rationalitetsfrågan för :
Om är en godtycklig utvidgning av på vilken verkar som en automorfigrupp och invariantkroppen är rationell över , då är realiserbar över .
Här betyder rationell en rent transcendent utvidgning av , genererad av en algebraiskt oberoende mängd. Detta kriterium kan användas exempelvis till att bevisa att alla symmetriska grupper är realiserbara.
Mycket detaljerat arbete har gjort på detta problem, som fortfarande är långt ifrån löst i det allmänna fallet. Mycket av detta går ut på att konstruera geometriskt som en Galoistäckning of the projektiva linjen: i algebraiska termer börjar man med en utvidgning av kroppen av rationella funktioner i en variabel . Efter det applicerar man Hilberts irreducibilitetssats till att specialisera så att Galoisgruppen bevaras.
Referenser
Fotnoter
Källor Alexander M. Macbeath, Extensions of the Rationals with Galois Group PGL(2,Zn), Bull. London Math. Soc., 1 (1969), 332–338.
Helmut Völklein, Groups as Galois Groups, an Introduction, Cambridge University Press, 1996.
Gunter Malle, Heinrich Matzat, Inverse Galois Theory, Springer-Verlag, 1999, . Alexander Schmidt, Kay Wingberg, Safarevic's Theorem on Solvable Groups as Galois Groups (see also ) Christian U. Jensen, Arne Ledet, and Noriko Yui, Generic Polynomials, Constructive Aspects of the Inverse Galois Problem, Cambridge University Press, 2002.
Kategori:Galoisteori Kategori:Olösta matematiska problem