Inom geometri betecknar barycentriska koordinater (från grekiska βαρύς, barys, "tung" och κέντρον, kentron, "centrum") en uppsättning av n+1 tal, vilka anger en punkts läge i förhållande till en n-dimensionell simplex (sträcka, triangel, tetraeder, etcetera) i det n-dimensionella rummet genom att ange relativa vikter som, om de placeras i hörnen på denna simplex, gör punkten till simplexens geometriska tyngdpunkt. I allmänhet avses läget av en punkt i planet i förhållande till en triangel.Clifford A. Pickover, 2015, 250 milstolpar i matematikens historia från Pythagoras till 57:e dimensionen, sid. 222. De skall inte förväxlas med begreppet "barycentrum" som används inom astronomi för att ange den gemensamma tyngdpunkten för en uppsättning himlakroppar (även om begreppet är närbesläktat). Barycentriska koordinater infördes av August Ferdinand Möbius 1827 i Der Barycentrische CalculAugust Ferdinand Möbius, 1827, Der Barycentrische Calcul, Verlag von Johann Ambosius Barth, Leipzig., samt, oberoende av Möbius, samma år även av Karl Wilhelm Feuerbach i Grundriß zu analytischen Untersuchungen der dreieckigen PyramideKarl Wilhelm Feuerbach, Grundriß zu analytischen Untersuchungen der dreieckigen Pyramide, Nürnberg 1827.
Barycentriska koordinater skrivs vanligtvis separerade av kolon (exempelvis för en punkt i planet i förhållande till en triangel i samma plan).
Om alla koordinaterna är större än noll ligger punkten innanför simplexens begränsningar och är en eller flera koordinater noll ligger punkten på begränsningarna. Alla koordinater kan inte vara noll. Är någon koordinat negativ ligger punkten utanför simplexen (det motsvarar att en "negativ vikt", eller en "lyftkraft", måste placeras i hörnet). Någon koordinat måste ha ett positivt värde.
De barycentriska koordinaterna är relativa, vilket innebär att endast deras inbördes förhållanden spelar roll: är detsamma som eller .
Med absoluta barycentriska koordinater menas att koordinaterna normerats så att deras summa blir lika med ett. För att normera koordinaterna delar man dem med deras summa. Exempelvis om koordinaterna divideras med summan av dem () får vi de absoluta barycentriska koordinaterna .Marie-Nicole Gras, 2014, Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers, Forum Geometricorum, 14, sid. 52.
Inom astronomi används termen barycentriskt koordinatsystem för att ange ett koordinatsystem (sfäriskt eller kartesiskt) med origo i systemets tyngdpunkt (exempelvis solsystemets tyngdpunkt).
Barycentriska koordinater i en dimension miniatyr|Figur 1. Endimensionella barycentriska koordinater är väldigt triviala, men mönstret följer med när antalet dimensioner ökar. Endimensionella barycentriska koordinater beskriver läget av en punkt på en linje i förhållande till en given sträcka på linjen. Låt oss kalla sträckans ändpunkter för och som i figur 1. De barycentriska koordinaterna anger då hur mycket massa vi skall placera i (eller hur mycket kraft vi skall applicera på) respektive för att tyngdpunkten skall befinna sig i relativt sett. Placerar vi all massa i ligger tyngdpunkten i och ligger alltså i och har, exempelvis, koordinaterna (och motsvarande för såklart). För att ange de barycentriska koordinaterna för skall vi alltså beräkna två krafter applicerade i respektive (vilket ger oss koordinaterna ) som ger ett motverkande vridmoment i förhållande till , det vill säga att , vilket ger oss koordinaterna . Eftersom endast koordinaternas relativa värden är av intresse kan vi multiplicera dem med , vilket ger oss de likvärdiga koordinaterna . Dessa kan "normeras" genom att dividera dem med varvid deras summa blir lika med ett. Vi ser att respektive koordinat är proportionell mot det "riktade" avståndet från den andra ändpunkten. I det fall man anger de fakiska avstånden talar man om de homogena barycentriska koordinaterna med avseende på sträckan .Paul Yiu, 2013, Introduction to the Geometry of the Triangle , sid. 1. Department of Mathematics, Florida Atlantic University.
Barycentriska koordinater i två dimensioner miniatyr|Figur 2. miniatyr|Absoluta barycentriska koordinater för vissa punkter i en liksidig respektive rätvinklig triangel. Tvådimensionella barycentriska koordinater beskriver läget av en punkt i planet i förhållande till en triangel i samma plan (se figur 2). Genom att placera tre "vikter" i de tre triangelhörnen (eller applicera tre krafter på hörnen) skall vi "balansera" triangeln i .
Vi börjar med att placera all vikt i . Därefter balanserar vi vikten längs linjen (i enlighet med resonemanget för endimensionella koordinater) så att vi placerar i och i , varefter vi balanserar vikten i längs genom att flytta till och till .
Detta innebär att fortfarande är tyngdpunkt på , vilket innebär att triangeln fortfarande är balanserad i och att all vikt befinner sig fördelad på , eller .
Vi noterar av det ovanstående att . På samma sätt kan vi visa att och .Med dessa tre uttryck bevisar man dessutom enkelt Cevas sats: .
Detta leder till att (i det fall arean av en deltriangel ligger helt utanför är dess area negativ.) är barycentiska koordinter för , eftersom
och på samma sätt är och .
Detta ger oss att
.
Dessa kallas de homogena barycentriska koordinaterna relativt triangeln .Paul Yiu, 2000, The uses of homogeneous barycentric coordinates in plane euclidean geometry i "International Journal of Mathematical Education in Science and Technology" 31, sid. 570 Vi kan normera dem genom att dividera var och en av dem med så att deras summa blir lika med ett, vilket ger oss de absoluta barycentriska koordinaterna (vilka även kallas areal coordinates, "areella koordinater", på engelska):
Barycentriska koordinater i tre eller flera dimensioner miniatyr|Figur 3. Det tredimensionella fallet: Analogt med det tvådimensionella fallet (i vilket vikterna i triangelhörnen är proportionella mot respektive "motstående deltriangels" area) är vikten i respektive tetraederhörn proportionell mot volymen av dess "motstående deltetraeders" volym. Resonemang Betrakta tetraedern och punkten i figur 3. Placera all vikt i och fördela sedan denna vikt på och så att fortfarande är tyngdpunkt. Den tilldelade vikten i fördelas sedan på hörnen i triangeln (se ovan under två dimensioner) så att denna triangel är balanserad i och varvid tetraedern fortfarande balanserar i . För areorna av deltrianglarna , och gäller
där betecknar vikten i hörnet . Dessa deltrianglar utgör baserna för tetraedrar med det fjärde hörnet i , vilka sålunda har volymer som är proportionella mot bastriangelns yta (och därmed mot vikten i det "motstående triangelhörnet"). På samma sätt är volymerna av de tre tetraedrarna med de tre deltrianglarna som basytor och det fjärde hörnet i proportionella mot vikten i respektive "motstående hörn". Detta ger
. Det vill säga att vikterna i tetraederhörnen är proportionella mot volymerna av de "motstående deltetraedrarna", vilka har den till hörnet motstående tetraedersidan som basyta och det fjärde hörnet i (detta gäller såklart även för och , vilket ju visas på samma sätt genom att utgå från ett annat hörn och dess motstående tetraedersida). Punkten har alltså de barycentriska koordinaterna i förhållande till tetraedern . De absoluta barycentriska koordinaterna för är , eftersom deras summa ju är lika med ett. Fler dimensioner: Ökar vi på antalet dimensioner förfar vi på samma sätt. För fyra dimensioner balanserar vi först mellan ett hörn och skärningspunkten (för linjen genom hörnet och ) med den till hörnet motstående tetraedern, varefter vi balanserar denna tetraeders tilldelade vikt på dess fyra hörn enligt ovan. Vi kan fortsätta att öka på med en dimension i taget på samma sätt. Detta innebär att vi för en n-dimensionell simplex och en punkt får . Punkten har de barycentriska koordinaterna i förhållande till simplexen .
Ortsvektorer och kartesiska koordinater miniatyr|Figur 4. I figur 4 visas en triangel och en punkt som har de absoluta barycentriska koordinaterna . Vi noterar att, i enlighet med endimensionella koodinater ovan, och . Därför har vi också att . Om nu triangelhörnen har ortsvektorerna , respektive i förhållande till en punkt får vi (i sista ledet utnyttjas att de absoluta koordinaternas summa är ett):
Från barycentriska till kartesiska koordinater Uttrycket för punktens ortsvektor ger direkt att, om triangelhörnen har de kartesiska koordinaterna , respektive , så är de kartesiska koordinaterna för :
Speciellt märker vi att om triangelhörnen har de kartesiska koordinaterna , och så har punkten de absoluta barycentriska koordinaterna .
Från kartesiska till barycentriska koordinater Om vi skriver om uttrycken för punktens kartesiska koordinater och utnyttjar att får vi två ekvationer med två obekanta:
vilka har lösningen och . (ur vilka vi även får )
Trilinjära koordinater Låt , och beteckna längden av de motstående sidorna till triangelhörnen. En punkt med de trilinjära koordinaterna har då de barycentriska koordinaterna .Matthew Harvey, 2015, Geometry Illuminated: An Illustrated Introduction to Euclidean and Hyperbolic Plane Geometry, sid. 349.
Omvänt har därför en punkt med de barycentriska koordinaterna de trilinjära koodinaterna .
De homogena barycentriska koordinaterna motsvaras av de exakta trilinjära koordinaterna .
Bevis
Om är homogena är de alltså lika med , och omvänt är de exakta trilinjära koordinaterna .
Barycentriska koordinater för vissa punkter Den geometriska tyngdpunkten Triangelns geometriska tyngdpunkt har barycentriska koordinater
Bevis Beviset följer direkt ur att den geometriska tyngdpunkten är medianernas skärningspunkt och att medianerna delar triangeln i sex likstora trianglar.
Den inskrivna cirkelns medelpunkt Den inskrivna cirkelns medelpunkt har barycentriska koordinater som kan skrivas som
Bevis Den inskrivna cirkelns medelpunkt har samma avstånd till triangelns sidor, dess radie . Radien är lika med deltrianglarnas höjd och de barycentriska koordinaterna är därför
De vidskrivna cirklarnas medelpunkter Medelpunkterna för de vidskrivna cirklarna till , och har de barycentriska koordinaterna , respektive .
Bevis Eftersom medelpunkten för den vidskrivna cirkeln, med radien , till har de trilinjära koordinaterna
har den de barycentriska koordinaterna
i enlighet med avsnittet om trilinjära koordinater ovan. Motsvarande gäller de båda övriga vidskrivna cirklarnas medelpunkter.
Den omskrivna cirkelns medelpunkt miniatyr|Figur 5. Den omskrivna cirkelns medelpunkt har barycentriska koordinater som kan skrivas som
Bevis Den omskrivna cirkelns medelpunkt har samma avstånd till triangelhörnen, cirkelns radie . Låt vara fotpunkt åt på (figur 5). Vi har då
I näst sista ledet utnyttjas randvinkelsatsen. ( är ju en korda i den omskrivna cirkeln och vinkeln i medelpunkten är enligt denna sats dubbelt så stor som vinkeln i en punkt på omkretsen.)
Samma resonemang för de båda andra triangelsidorna ger oss barycentriska koordinater
Ortocentrum Ortocentrum har barycentriska koordinater som kan skrivas som
eller
Det andra uttrycket erhålls genom multiplikation med Bevis Vi utnyttjar förhållandet mellan barycentriska koordinater och trilinjära koordinater (se avsnittet ovan). Den omskrivna cirkelns medelpunkt har barycentriska koordinater (se ovan)
och därför trilinjära koordinater
Ortocentrum är isogonalkonjugat till den omskrivna cirkelns medelpunkt och dess trilinjära koordinater är därför
vilka motsvarar de barycentriska koordinaterna
Symmedianpunkten Symmedianpunkten har de barycentriska koordinaterna
Bevis För beviset utnyttjar vi sambandet mellan barycentriska och trilinjära koordinater och att symmedianpunkten är isogonalkonjugat till den geometriska tyngdpunkten. Den geometriska tyngdpunkten har barycentriska koordinater
vilket motsvarar de trilinjära koordinaterna
Symmedianpunkten har, eftersom den är isogonalkonjugat till den geometriska tyngdpunkten, de trilinjära koordinaterna