Den sannolikhetsgenererande funktionen för en diskret slumpvariabel är en potensserierepresentation av slumpvariabelns sannolikhetsfunktion. Sannolikhetsgenererande funktioner används ofta för deras kortfattade beskrivning av följden Pr ( X = k ) i sannolikhetsfunktionen för en slumpmässig variabel X. Vidare, om sannolikhetsfunktionen är reproduktionsfördelningen för en Galton-Watson-process, ger upprepad applicering av den sannolikhetsgenererande funktionen långsiktigt beteende för processen.
Definition Om X är en diskret slumpvariabel som har utfallsrummet {0,1, ...}, definieras den sannolikhetsgenererande funktionen för X som
där p är sannolikhetsfunktionen för X.
Egenskaper En del intressanta egenskaper för sannolikhetsgenererande funktioner kan härledas.
Sannolikhetsfunktionen för X fås genom att derivera G,
Det följer från egenskap 1 att om två slumpvariabler X och Y har sannolikhetsgenererande funktioner som är lika, så är även . Alltså, om X och Y har identiska sannolikhetsgenererande funktioner, har de identiska sannolikhetsfunktioner. Väntevärdet av ges av Vidare ges variansen av X av där X är en slumpvariabel, är den sannolikhetsgenererande funktionen och är den momentgenererande funktionen.
Exempel Den sannolikhetsgenererande funktionen för en konstant slumpvariabel, dvs Pr ( X = c ) = 1, är
Den sannolikhetsgenererande funktionen för en Bernoullifördelad slumpvariabel med parameter p ges av
Den sannolikhetsgenererande funktionen för en Poissonfördelad slumpvariabel med parametern λ är
Referenser
Kategori:Genererande funktioner