miniatyr|En röd cevian i en blå triangel. Inom geometrin betecknar en cevian ett linjesegment i en triangel som går från ett av hörnen till den motstående sidan (eller dess förlängning). Exempel på cevianer är bisektriser, höjder och medianer.Klassiska bevis: Cevas sats, del 1 på Mattebloggen.
Namnet kommer från den italienske ingenjören Giovanni Ceva (1648-1737) som 1678 publicerade det vi idag kallar Cevas sats i De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio.Ceva Theorem på Encyclopedia of Mathematics.
Längd miniatyr|Figur 2. Allmänt kan en cevians längd beräknas enligt Stewarts sats (beteckningar enligt figur 2).
Median Om cevianen är en median är , vilket reducerar Stewarts sats till Apollonios sats
Bisektris Är cevianen en bisektris ges längden av
eller . med eller , med semiperimetern .
Höjd Är cevianen en höjd ges dess längd antingen av Pythagoras sats enligt
eller av , med semiperimetern .
Cevianer med gemensam skärningspunkt miniatyr|Figur 3. Tre cevianer som skär varandra i punkten O. För tre cevianer som skär varandra i en gemensam inre punkt gäller allmänt följande samband mellan delningsförhållanden (beteckningar enligt figur 3):Alfred S. Posamentier och Charles T. Salkind, 1988, Challenging Problems in Geometry, sid. 177-188. .
(Cevas sats)
De två sista uttrycken är komplementära, eftersom om vi adderar vänsterleden får
De tre höjderna skär varandra i triangelns ortocentrum. De tre bisektriserna skär varandra i de inskrivna cirkelns medelpunkt. De tre medianerna skär varandra i (den geometriska) tyngdpunkten.Wafaa Chamoun, 2012, Utvalda satser utifrån plangeometri , Matematiska institutionen vid Stockholms Universitet, sid. 29 ff. De tre cevianerna till de tre vidskrivna cirklarnas tangeringspunkter, vilka även delar omkretsen i två lika delar (en sådan cevian kallas "splitter" på engelska), skär varandra i Nagelpunkten.Eric W. Weisstein, Nagel Point på Wolfram MathWorld. De tre symmedianerna skär varandra i symmedianpunkten (även kallad Lemoines punkt eller Grebes punkt).
Referenser
Kategori:Trianglar