Haarmått är ett mått i lokalt kompakta topologiska grupper så att det är volyminvariant. Till exempel är Lebesguemåttet Haarmåttet i .
Translation-invariant mått
Låt vara en grupp.
Om och kallas mängden
för vänstertranslationen för A och mängden
för högertranslationen för A.
En sigma-algebra i är vänstertranslationsinvariant om
för alla och är ,
likartat kan man definiera egenskapen att en sigmaalgebra är högertranslationsinvariant.
Om är en vänstertranslationsinvariant sigma-algebra så är måttet vänstertranslationsinvariant om
för alla och är ,
likartat kan man definiera att ett mått är högertranslationsinvariant.
Haarmått
Låt vara en lokalt kompakt topologisk grupp, dvs paret är en grupp, rummet är ett lokalt kompakt topologiskt rum avbildningen är kontinuerlig (i produkttopologin) och avbildningen är kontinuerlig.
Då är Borelmängderna en vänster- och högertranslationsinvariant sigma-algebra.
Det går att visa att det alltid finns (utan konstant) endast ett Radonmått
som är vänstertranslationsinvariant. Vi kallar detta mått vänster-Haarmåttet.
Man kan även visa att det alltid finns (utan konstant) endast ett Radonmått
som är vänster-translation-invariant som kallas höger-Haarmåttet.
Med utan konstant menas att Radonmåttet i är vänstertranslationsinvariant om och endast om det finns så att , likaså för det högertranslationsinvarianta måttet.
Det finns grupper där , men om
i kallar vi måttet
för Haarmåttet.
Egenskaper
Givet ett höger-Haarmått kan ett möjligen nytt höger-Haarmått skapas genom att definiera
där är ett element i den överliggande gruppen och är en Borelmängd. Då alla höger-Haarmått på en grupp är unika upp till en konstant finns således ett reellt tal sådant att
Eftersom ett nytt höger-Haarmått kan skapas för varje element i gruppen så kan ses som en funktion från gruppen till de positiva reella talen och brukar kallas modulärfunktionen. Notera att modulärfunktionen är oberoende av vilket höger-Haarmått som väljs för att definiera den eftersom givet två höger-Haarmått och så finns det en konstant så att . Detta ger
Om gruppen är en abelsk grupp så är .
Exempel
Rummet är en lokalt kompakt topologisk grupp med normtopologi. Dessutom är Lebesguemåttet över Borelmängder höger- och vänstertranslationsinvariant, dvs
för alla och gäller att .
Så att Lebesguemåttet är Haarmåttet i :
.
Detta innebär också att Lebesguemåttet är (utan konstant) det enda höger- och vänstertranslationsinvarianta måttet i .
Andra viktiga exempel för Haarmåttet är vridningsinvariant mått i ortogonalgruppen, dvs
.
Källor Paul Halmos (1950), Measure Theory, D. van Nostrand and Co.
Kategori:Måtteori Kategori:Topologiska grupper Kategori:Liegrupper