En stokastisk matris är inom matematik, bland annat linjär algebra och sannolikhetsteori, en kvadratisk matris bestående av icke-negativa tal vars rad- och/eller kolonnsummor är lika med 1. Man skiljer på olika typer av stokastiska matriser: En radstokastisk matris består av icke-negativa element och varje rad har summa 1. En kolonnstokastisk matris består av icke-negativa element och varje kolonn har summa 1. En dubbelstokastisk matris består av icke-negativa element och varje rad och varje kolonn har summa 1.
Definition Låt A vara en n × n-matris med element aij på rad i och kolonn j. För att A ska vara en stokastisk matris måste samtliga aij vara icke-negativa och något av nedanstående måste vara uppfyllt:
För att A ska vara radstokastisk:
för alla i. För att A ska vara kolonnstokastisk:
för alla j. För att A ska vara dubbelstokastisk behöver båda ovanstående villkor vara uppfyllda.
Stokastiska matriser uppstår som övergångsmatriser i Markovkedjor. Elementen aij är då sannolikheten att gå från läge i till j.
Egenskaper Enligt Perron-Frobenius sats har en stokastisk matris en unik egenvektor som endast har icke-negativa element. Denna egenvektor har egenvärdet 1. Om matrisen är en övergångsmatris för en Markovkedja är detta den stationära fördelningen. Birkhoffs sats: Mängden av dubbelstokastiska matriser är en konvex mängd där extrempunkterna är permutationsmatriser, så att en matris A är dubbelstokastisk om och endast om den är en konvexkombination av permutationsmatriser:
Varje dubbelstokastisk n × n-matris behöver maximalt k = n2 - 2n + 2 permutationsmatriser i ovanstående konvexkombination.
Referenser
Kategori:Matriser