En sfärisk triangel är en triangel på ytan av en sfär. Triangeln begränsas av storcirkelbågar. Vinkelsumman ligger mellan 180 grader för en liten triangel och 540 för en triangel som upptar nästan en hel halvsfärs yta, under förutsättning att ingen vinkel får vara större än 180 grader (eulersk triangel). Om detta villkor inte gäller är den övre gränsen för vinkelsumman 900 grader.Notera att varje uppsättning storcirkelbågar definierar två trianglar, en "inre" och en "yttre". Om basen på en "inre" sfärisk triangel är just under 360° och höjden är nära 0° är summan av triangelns yttervinklar strax under 360°+360°+180° = 900°. Eller, om en sfärisk "inre" triangel är väldigt liten, och därför nästan plan, är den inre vinkelsumman just över 180° och således är yttervinkelsumman nästan 3⋅360°-180° = 1080°-180° = 900°.

Area och sfäriskt överskott Arean av den sfäriska triangeln kan beräknas med hjälp av de inre vinklarna (i radianer) och sfärens radie enligt Girards sats:

Jämfört med det plangeometriska fallet, sägs den sfäriska triangeln ha ett vinkelöverskott eller sfäriskt överskott, det vill säga summan av de inre vinklarna är större än 180 grader, eller, med alla vinklar givna i radianer, är överskottet

För en allmän sfärisk triangel gäller

och för en eulersk triangel

Genom att tillämpa sfärisk trigonometri kan vinkelöverskottet E beräknas med hjälp av triangelns sidolängder a, b och c enligt L'Huiliers sats:L'Huiliers Theorem på Wolfranm MathWorld.Casey (1889), artikel 48, sid. 44. Todhunter (1886), artikel 102, sid. 70.

där s = (a + b + c)/2 är triangelns semiperimeter (halva omkrets). Genom sambandet med Girards sats kan sedan triangelns area beräknas.

Beräkning av sidor och hörnvinklar miniatyr|Figur 3: De eulerska trianglarna och har vinkeln och sidorna och lika. Eftersom är likbent, är och således . Denna typ av obestämdhet förekommer även hos plana trianglar. miniatyr|Figur 4: De eulerska trianglarna och har sidan och vinklarna och lika. Vinklarna är lika eftersom båda storcirklarna till respektive tangerar den orange parallellcirkeln med radien till storcirkeln , på varsin sida om och lika långt från meridianen genom . Sålunda är och . Denna typ av obestämdhet förekommer inte hos plana trianglar, eftersom vinkelsumman i sådana alltid är : eftersom och är givna, är även vinkeln i () given. Om man känner alla tre sidlängderna, två sidlängder och en hörnvinkel, en sidlängd och två hörnvinklar eller, till skillnad från plana trianglar, alla tre hörnvinklarna, kan man beräkna de övriga med hjälp av formler från den sfäriska trigonometrin. (Observera att sfärisk trigonometri arbetar med en enhetssfär och uttrycker sidlängder i vinkelmått.) Tre sidor kända: Beräkna vinklarna med hjälp av sfäriska cosinussatsen eller de sfäriska formlerna för halva vinkeln. Två sidor och en vinkel kända: Använd de sfäriska cotangensformlerna om vinkeln är mellanliggandeDe båda kända sidorna möts i hörnet med den kända vinkeln., annars först sfäriska sinussatsen för att få den andra motstående vinkeln (observera att det i detta fall ofta finns två lösningar, även för en eulersk triangel - se figur 3) och därefter Napiers analogier. Två vinklar och en sida kända: Använd de sfäriska cotangensformlerna om sidan är mellanliggandeDe båda hörnen med kända vinklar ligger i varsin ände av den kända sidan,, annars först sfäriska sinussatsen för att få den andra motstående sidan (observera att det i detta fall ofta finns två lösningar, även för en eulersk triangel - se figur 4) och därefter Napiers analogier. Tre vinklar kända: Beräkna sidorna med hjälp av duala cosinussatsen eller de sfäriska formlerna för halva sidan.

Om en hörnvinkel är rät eller om en sida har längden π/2 finns det enklare metoder enligt nedan. Formlerna för den rätvinkliga triangeln kan även användas för andra trianglar (man måste dock känna antingen två sidor och ett hörn, eller två hörn och en sida), om man delar denna i två rätvinkliga trianglarDela triangeln så att en känd sida blir hypotenusa med ett intilliggande känt hörn. - det blir två sidor och en vinkel till att räkna ut, men beräkningarna blir å andra sidan enklare. Speciellt effektiv är metoden om två sidor eller två hörnvinklar är lika, eftersom man då har en likbent triangel som kan delas i två kongruenta rätvinkliga trianglar.

Rätvinkliga sfäriska trianglar I det fall en hörnvinkel i en sfärisk triangel är rät fås många enkla samband ur den sfäriska trigonometrins formler genom att cosinus och cotangens för en rät vinkel är noll, och sålunda försvinner många termer som innehåller cosinus eller cotangens för denna vinkel ur dessa formler (och i fallet med sinussatsen försvinner en faktor eftersom sinus är lika med ett för vinkeln). Nedan ges en uppsättning på tio enkla formler (under en rubrik som anger varifrån de härlettsTvå sinussatser innehåller , två av de sex cotangensformlerna innehåller och två , alla de tre duala cosinussatserna innehåller , men en av dem på "ett annat ställe" vilket ger "ett annorlunda resultat", och en av de tre cosinussatserna innehåller .) som gäller för den sfäriska triangeln , med sidlängderna , och , med de motstående hörnvinklarna , respektive den rätvinkliga .Casey (1889), artikel 35-37, sid. 32-35. Todhunter (1886), artikel 61-62, sid. 33-34. Sfäriska sinussatsen:

Sfäriska cotangensformlerna:

Duala cosinussatsen:

Sfäriska cosinussatsen:

Napiers minnesregel miniatyr|Figur 5: Napiers minnesregel för rätvinkliga sfäriska trianglar. A=α och B=β. Om man ritar en figur med fem "tårtbitar" som den längst till höger i figur 5 och anger sidor och vinklar, med undantag för den räta vinkeln, i den ordning de kommer i triangeln, men i stället för de båda icke räta vinklarna och den sida som är hypotenusa anger komplementvinkeln, lyder Napiers minnesregel:John Napier, 1614, Mirifici logarithmorum canonis descriptio, ejusque usus, in utraque trigonometria; ut etiam in omni logistica mathematica, amplissimi, facillimi, & expeditissimi explicatio, Bok II, kapitel IV, sid. 30 ff. Engelsk översättning med kommentarer av Ian Bruce sid. 41 ff (10/31), PDF 300kB. Välj en av de fem, sinus för denna är produkten av tangens för de båda intilliggande och produkten av cosinus för de båda övriga.Casey (1889), artikel 38, sid. 35-36. Todhunter (1886), artikel 66, sid. 35-36.

Exempel: Vi väljer sidan b. Minnesregeln säger då

som återfinns som den tredje formeln från sfäriska cotangensformlerna ovan. Minnesregeln säger också

som vi återfinner som den andra formeln från sfäriska sinussatsen.

Trianglar med en sida med längden π/2 Eftersom den polära triangeln har sidor som är supplementvinklar till triangelns hörn, innebär det att den polära triangeln till en rätvinklig triangel har en sida med längden , det vill säga att sidan är en storcirkelkvadrant. Vi kan således använda den polära dualitetssatsen på ovanstående formler för den rätvinkliga triangeln och få att för den sfäriska triangeln , med hörnvinklarna , och och de motstående sidlängderna , respektive storcirkelkvadranten gäller:Casey (1889), artikel 39, sid. 38-39.

Man kan konstruera en liknande minnesregel som för de rätvinkliga trianglarna, men enklare är att bara byta vinklar mot motstående sidor och vice versa, samt ändra tecken om cosinus förekommer en gång (ty ; även tangens och cotangens byter ju tecken för supplementvinkeln, men dessa förekommer endast parvis i formlerna).

Geometriska egenskaper Den inskrivna cirkeln miniatyr|Figur 6: Den sfäriska triangeln , har den inskrivna cirkeln, med medelpunkt i P, bisektrisernas gemensamma skärningspunkt. Liksom för en plan triangel skär hörnvinklarnas bisektriser varandra i en gemensam punkt, den inskrivna cirkelns medelpunkt. Bevis Betrakta den sfäriska triangeln i figur 6 till höger. Punkten ligger på bisektrisen (blå) till vinkeln i hörnet medan är "fotpunkt"Storcirkelplanet genom och är ett normalplan till storcirkelplanet genom och . Den rätlinjiga fotpunkten till på storcirkelplanet genom och ligger inne i sfären på skärningslinjen mellan de båda planen, varför "fotpunkt" här skrivs inom citationstecken - med "fotpunkt" avses här planens skärningslinjes skärningspunkt med sfärens yta, vilket innebär att vinkeln mellan de båda storcirkelbågarna är rät. till på och är "fotpunkt" till på . Eftersom de båda trianglarna och delar sträckan som sida (hypotenusa), båda har samma vinkel i och deras vinklar i respektive båda är lika (räta) är trianglarna kongruenta. ligger även på bisektrisen till vinkeln i , så samma sak gäller trianglarna och , vilket ger att . Den cirkel som har medelpunkt i och radien är sålunda den inskrivna cirkeln till ty dess omkrets tangerar triangelns sidor i punkterna , och (vinkeln mellan sidan och radien till respektive sida är ju rät i respektive punkt). Att även ligger på bisektrisen till vinkeln i framgår på samma sätt ur att trianglarna och är kongruenta och således skär alla tre bisektriserna varandra i samma punkt.

Den inskrivna cirkelns medelpunkt är även medelpunkt till den polära triangelns omskrivna cirkel. För bevis se artikeln Polär triangel.

Längden av radien i den inskrivna cirkeln till triangeln (på en enhetssfär) med sidlängderna , och , och hörnvinklarna , respektive i de till dessa sidor motstående hörnen fås genom:

där .

Härledning I triangeln i figur 6 har vi , och , vilket ger oss:

Eftersom vinkeln i är rät kan vi utnyttja (se ovan under avsnittet Rätvinkliga sfäriska trianglar, tredje formeln från de sfäriska cotangensformlerna - med bytta beteckningard (=a) och e (=b) är kateter och δ(=α) är motstående vinkel till d.) för triangeln , vilket, med beteckningarna för triangeln i figur 6 ger:

Enligt den sfäriska formeln för tangens för halva vinkeln är , vilket ger:

Den omskrivna cirkeln miniatyr|Figur 7: Den sfäriska triangeln , har den omskrivna cirkeln, med medelpunkt i P, mittpunktsnormalernas gemensamma skärningspunkt. Liksom i fallet med en plan triangel skär mittpunktsnormalerna till en sfärisk triangels sidor varandra i en gemensam punkt. Denna punkt är medelpunkt för den omskrivna cirkeln till triangeln.

Bevis Betrakta triangeln i figur 7. Den omskrivna cirkelns medelpunkt ligger i . Sträckorna (storcirkelbågarna) från till triangelhörnen är radier i den omskrivna cirkeln, det vill säga . Alltså är , och likbenta trianglar och således går mittpunktsnormalerna till dessa trianglars tredje sida, , respektive , genom triangelhörnet .

Den omskrivna cirkelns medelpunkt är även medelpunkt till den polära triangelns inskrivna cirkel. För bevis se artikeln Polär triangel.

Längden av radien i den omskrivna cirkeln till triangeln (på en enhetssfär) med sidlängderna , och , och hörnvinklarna , respektive i de till dessa sidor motstående hörnen fås genom: Notera att eftersom . där .

Härledning Triangeln i figur 7 delas av radierna från till triangelhörnen upp i de tre likbenta , och vars vinklar i hörnen och , och respektive och är inbördes lika, i figuren benämnda (blå), (orange) respektive (grön). Sålunda har vi:

vilket ger:

Eftersom triangeln är rätvinklig i hörnet , har hypotenusan med längden och kateten med längden (eftersom är mittpunktsnormal till som har längden ) kan vi utnyttja (se avsnittet Rätvinkliga sfäriska trianglar ovan, första formeln från de sfäriska cotangensformlerna - med ändrade beteckningarδ motsvarar α i formeln, h hypotenusan (c) och k den till δ närstående kateten (b).), vilket med beteckningarna i figur 7 ger:

Den sfäriska formeln för tangens för halva sidan, , ger vidare:

Höjder och ortocentrum miniatyr|Figur 8: En sfärisk triangel (blå) och den till denna polära triangeln (röd). Höjderna är markerade med grönt och skär varandra i en gemensam punkt, ortocentrum. De skär varandra också i en diametralt motsatt punkt, ett andra ortocentrum, på sfären (ej utritat). En höjd i en sfärisk triangel är en storcirkelbåge som går genom ett hörn och skär den motstående sidan, eller dess förlängning, i rät vinkel.