Піфагорова четвірка — кортеж цілих чисел таких, що , при цьому d > 0. Піфагорова четвірка визначає прямокутний паралелепіпед із довжинами сторін |a|, |b| та |c|, діагональ якого має довжину d. Піфагорові четвірки також називають піфагоровими блоками.
Параметризація простих четвірок Множина простих піфагорових четвірок, тобто тих, для яких НСД(a,b,c) = 1, має параметризаціюL. E. Dickson, Some relations between the theory of numbers and other branches of mathematics, in Villat (Henri), ed., Conférence générale, Comptes rendus du Congrès international des mathématiciens, Strasbourg, Toulouse, 1921, pp. 41—56; reprint Nendeln/Liechtenstein: Kraus Reprint Limited, 1967; Collected Works 2, pp. 579—594.
де m, n, p, q — натуральні цілі, НСД(m,n,p,q) = 1 і m + n + p + q ≡ 1 (mod 2). Таким чином, усі прості піфагорові четвірки описує тотожність Лебега
Альтернативна параметризація Всі піфагорові четвірки (включно з непростими та з повтореннями) можна отримати з двох натуральних чисел a і b в такий спосіб: Якщо і мають різну парність, візьмемо будь-який множник p числа такий, що . Тоді і Зауважимо, що
Схожий метод існує для парних з додатковим обмеженням, що має бути парним дільником числа Такого методу немає для випадку, коли обидва числа a і b непарні.
Властивості Найбільше число, яке завжди ділить добуток abcd, дорівнює 12. Четвірка з найменшим добутком — (1, 2, 2, 3).
Зв'язок з кватерніонами та раціональними ортогональними матрицями Проста піфагорова четвірка , параметризована за допомогою , відповідає першому стовпцю матричного подання спряження за допомогою кватерніона Гурвіца , звуженого до підпростору , натягнутого на
де стовпці попарно ортогональні і кожен має норму d. Більш того, , і фактично всі 3 × 3 ортогональні матриці з раціональними коефіцієнтами з'являються в такий спосіб.
Піфагорові четвірки з нормою d<30 abcd1223236714892691144796671134121325141521011151121217891217161819661719610151945202148192141316218111621362223314182361318239122025121516252726272102527214232771422271010232731624291112242912162129
Кубічні піфагорові четвірки Існує окремий тип кубічних піфагорових четвірок (), тобто таких наборів натуральних чисел , які задовольняють рівняння:
Кубічні піфагорові четвірки можна згенерувати за допомогою спеціальних матриць. Кубічною піфагоровою четвіркою з найменшою нормою є: . Іншими (але не єдиними) прикладами кубічних піфагорових четвірок є: abcd41722251623414416471081116410740540864155664667
Див. також Числа Піфагора Теорема де Гуа Кватерніони і повороти простору Формула Ейлера — Родрігеса для обертання в тривимірному просторі Гіпотеза Ейлера Число таксі Задача про чотири куби Рівняння Якобі — Маддена
Примітки
Посилання
The complete parametrization derived using a Minkowskian Clifford Algebra