Міра Малера для многочлена з комплексними коефіцієнтами визначається як
де розкладається в полі комплексних чисел на множники
Міру Малера можна розглядати як вид функції висоти. Використовуючи формулу Єнсена, можна показати, що ця міра еквівалентна середньому геометричному чисел для на одиничному колі (тобто, ):
У ширшому значенні міра Малера для алгебричного числа визначається як міра Малера мінімального многочлена від над . Зокрема, якщо є числом Пізо або числом Салема, то міра Малера дорівнює просто .
Названо на честь математика Курта Малера.
Властивості
Міра Малера є мультиплікативною: де — квантор загальності . , де середнє степеневе є нормою для многочлена Хоча це не є істинною нормою для значень .. () Якщо -незвідний нормований (старший коефіцієнт — 1) цілочисельний многочлен із , то або , або є коловим многочленом. () Якщо існує стала , така, що, якщо є незвідним цілочисельним многочленом, то або , або . Міра Малера нормованого цілого многочлена є числом Перрона.
Міра Малера від кількох змінних Міра Малера для многочлена з кількома змінними визначається за аналогічною формулою:
Ця міра зберігає всі три властивості міри Малера для многочлена від однієї змінної.
Показано, що в деяких випадках міра Малера від кількох змінних пов'язана зі спеціальними значеннями дзета-функцій і -функцій. Наприклад, 1981 року Сміт довів формули
де — L-функція Діріхле, і
,
де — дзета-функція Рімана. Тут називають логарифмічною мірою Малера.
Теорема Лоутона За визначенням міра Малера сприймається як інтеграл многочлена за тором (див. ). Якщо перетворюється на нуль на торі , то збіжність інтеграла, який визначає , не очевидна, але відомо, що збігається і дорівнює межі міри Малера від однієї змінної, що висловив у вигляді гіпотези .
Нехай позначає цілі числа, визначимо . Якщо є многочленом від змінних та , то нехай многочлен від однієї змінної визначається як
а — як
,
де .
Теорема (Лоутона): нехай є многочленом від N змінних із комплексними коефіцієнтами — тоді істинна така границя (навіть якщо порушити умову ):
Пропозиція Бойда Бойд запропонував твердження, загальніше, ніж наведена вище теорема. Він вказав на те, що класична теорема Кронекера, яка характеризує нормовані многочлени з цілими коефіцієнтами, корені яких лежать усередині одиничного кола, може розглядатися як опис многочленів однієї змінної, міра Малера для яких точно дорівнює 1, і на те, що цей результат можна поширити на многочлени кількох змінних.
Нехай розширений круговий многочлен визначатиметься як многочлен вигляду
де — коловий многочлен степеня m, — цілі числа, а вбрано найменшим, так що є многочленом від . Нехай — множина многочленів, які є добутком одночленів та розширеного колового многочлена. Тоді виходить така теорема.
Теорема (Бойда): нехай — многочлен із цілими коефіцієнтами, тоді тільки коли є елементом .
Це наштовхнуло Бойда на думку розглянути такі множини:
та об'єднання . Він висунув більш «просунуту» гіпотезу, що множина є замкнутою підмножиною . З істинності цієї гіпотези негайно випливає істинність гіпотези Лемера, хоч і без явної нижньої межі. Оскільки з результату Сміта випливає, що , Бойд пізніше висловив гіпотезу, що
Див. також
Висота многочлена
Примітки
Література
.
Посилання