У теорії ймовірностей відбитий броунівський рух (або врегульований броунівський рух (ВБР) — це вінерівський процес у просторі з відбивними межами. У літературі з фізики цей процес описує дифузію в обмеженому просторі і його часто називають обмеженим броунівським рухом. Наприклад, він може описати рух твердих куль у воді, обмежених між двома стінками.
Доведено, що ВБР описують моделі масового обслуговування з інтенсивним трафіком, як вперше було запропоновано Кінгманом і доведено Іглехартом і Віттом.
Означення d –вимірний відбитий броунівський рух Z є випадковим процесом на однозначно визначений
d –вимірним вектором дрейфу μ d × d не-сингулярною коваріаційною матрицею Σ і d × d матриця відбиття R.
де X ( t ) – необмежений броунівський рух із дрейфом μ та дисперсією Σ, і
з Y ( t ) d –вимірним вектором, де
Y неперервний і не спадний з Y (0)=0 Y j збільшується лише в моменти часу, для яких для .
Матриця відбиття описує поведінку границі. Всередині процес поводиться як Вінерівський процес; на межі, "грубо кажучи, Z штовхається в напрямку Rj кожного разу, коли процес стикається з граничною поверхнею , де R j - j -й стовпець матриці R". Процес Yj - локальний час процесу на відповідній ділянці границі.
Умови стійкості Умови стійкості відомі для ВБР у 1, 2 і 3 вимірах. «Проблема класифікації повторюваності для стійкости ВБР у чотирьох і вищих вимірах залишається відкритою». У спеціальному випадку, коли R є M-матрицею, необхідні й достатні умови стійкості наступні
R — оборотна матриця і R −1 μ<0.
Граничний і стаціонарний розподіл Одновимірний випадок Граничний розподіл (перехідний розподіл) одновимірного броунівського руху, з початком в 0, обмежений позитивними значеннями (єдиний відбивний бар’єр в 0) з дрейфом μ і дисперсією σ 2 записується
для всіх , (з Φ функцією розподілу нормального розподілу), що дає (для ) при експоненціальний розподіл
Для фіксованого t розподіл Z(t) збігається з розподілом поточного максимуму M(t) броунівського руху,
Проте слід памʼятати, що розподіли процесів у цілому дуже різні. Зокрема, зростає в , але не стосується .
Теплове ядро для відбитого броунівського руху при :
Для поверхні над
Багатовимірний випадок Стаціонарний розподіл відбитого броунівського руху в багатьох вимірах можна простежити аналітично, якщо існує стаціонарний розподіл продукту, який відбувається, коли процес стабільний і
де Д=діаг(Σ). У цьому випадку функція щільності ймовірності .
де ηk=2μk γk / Σ kk і γ=R −1μ. Вирази закритої форми для ситуацій, коли умова форми продукту не виконується, можна обчислити чисельно, як описано нижче в розділі моделювання.
Симуляція
Одновимірний випадок В одновимірному випадку змодельований процес є абсолютним значенням Вінерівського процесу. Наступна програма MATLAB створює зразок шляху.% rbm.m n = 10^4; h=10^(-3); t=h.*(0:n); mu=-1; X = zeros(1, n+1); M=X; B=X; B(1)=3; X(1)=3; for k=2:n+1 Y = sqrt(h) * randn; U = rand(1); B(k) = B(k-1) + mu * h - Y; M = (Y + sqrt(Y ^ 2 - 2 * h * log(U))) / 2; X(k) = max(M-Y, X(k-1) + h * mu - Y); end subplot(2, 1, 1) plot(t, X, 'k-'); subplot(2, 1, 2) plot(t, X-B, 'k-');Помилка, пов’язана з дискретним моделюванням, була визначена кількісно.
Багатовимірний випадок QNET дозволяє симулювати RBM у стаціонарному стані.
Інші граничні умови Феллер описав можливі граничні умови для процесу
поглинання або припинений броунівський рух, гранична умова Діріхле миттєве відбиття, як описано вище, гранична умова Неймана пружне відображення, гранична умова Робена запізніле відображення (час перебування на межі додатний з ймовірністю один) часткове відображення , де процес або відразу відбивається, або поглинається липкий броунівський рух.
Див. також Проблема Скорохода Примітки