Функційний простір ( та )— у математиці, це множина функцій між двома фіксованими множинами.
Часто область визначення та/або область значень матиме додаткову структуру, яка успадковується функційним простором. Наприклад, множина функцій із будь-якої множини X у векторний простір має природну структуру векторного простору, задану поточковим додаванням і множенням на скаляр. В інших випадках функційний простір може успадкувати топологічну або метричну структуру, а отже, і назву «простір».
В лінійній алгебрі Нехай F — поле і X будь-яка множина. Функціям X → F можна надати структуру векторного простору над F, де операції визначені поточково, тобто для будь-якого f, g : X → F, будь-якого x є X і будь-якого c є F, визначимо
Коли область X має додаткову структуру, можна розглянути підмножину (або підпростір) усіх таких функцій, що зберігають цю структуру. Наприклад, якщо V та X є векторними просторами над F, множина лінійних відображень X → V утворюють векторний простір над F з поточково визначеними операціями (часто позначаються Hom(X,V)). Одним із таких просторів є спряжений простір до X: множина лінійних функціоналів X → F із поточково визначеними додаванням і множенням на скаляр.
Приклади У теорії множин множина функцій з X в Y позначається {X → Y} або YX. Зокрема булеан множини X може бути ототожнений з множиною всіх функцій X → {0, 1}, що позначається 2X. Множина біекцій між X та Y позначається . Факторіальний запис X! може використовуватися для множини перестановок множини X. У функційному аналізі те ж саме спостерігається для неперервних лінійних перетворень, включаючи топології на векторних просторах, і багато прикладів функційних просторів з топологією; найвідоміші приклади включають гільбертові простори та банахові простори. У функційному аналізі множина всіх функцій від натуральних чисел до деякої множини X називається простором послідовностей. Він складається з множини всіх можливих послідовностей елементів X. У топології можна створити топологію на просторі неперервних функцій з топологічного простору X до іншого Y, з властивостями цих просторів. Прикладом є компактно-відкрита топологія, напр. простір петель. Також доступна топологія добутку на просторі теоретико-множинних функцій (тобто не обов’язково неперервних функцій) YX. У цьому контексті цю топологію також називають топологією поточкової збіжності. В алгебричній топології, теорія гомотопії в основному вивчає дискретні інваріанти функційних просторів; У теорії випадкових процесів основною технічною проблемою є те, як побудувати міру ймовірності на функційному просторі «шляхів процесу» (функцій від часу); У теорії категорій функційний простір називається експоненціальним об'єктом (експоненціалом) або об'єктом-відображенням. З одного боку, це виглядає як канонічний біфунктор представлення; з іншого як функтор типу [X, -], він виглядає як спряжений функтор до функтора типу (-×X) на об'єктах; У функційному програмуванні та лямбда-численні функційні типи використовуються для вираження ідеї функцій вищого порядку. Основна ідея теорії доменів полягає в знаходженні конструкцій з часткових порядків, які можуть моделювати лямбда-числення, шляхом створення підходящої декартової замкнутої категорії. У теорії представлень скінченних груп, задавши два скінченновимірних представлення V і W групи G, можна сформувати представлення G над векторним простором лінійних відображень Hom(V,W), яке називається представленням Hom.
В функційному аналізі Функційний аналіз складається з методів приведення функційних просторів до топологічних векторних просторів з ідеями, подібними до тих, які застосовуються до нормованих просторів скінченної розмірності. Тут ми використовуємо дійсну пряму як приклад області визначення, але нижченаведені простори існують і на відповідних відкритих підмножинах простір неперервних функцій (неперервні функції з супремум-нормою) простір фінітних функцій (неперервні функції з компактним носієм) обмежені функції неперервні функції функції гладкості r. (нескінченно) гладкі функції гладкі функції з компактним носієм) дійсні аналітичні функції , для — Lp-простір вимірних функцій з скінченною p-нормою простір Шварца of гладких функцій і їх неперервних двоїстих, узагальнених функцій компактний носій в топології границь простір Соболєва функція, чия слабкі похідні до ступеня k є в голоморфні функції лінійні функції поточково лінійні функції неперервні функції з компактно-відкритою топологією всі функції, простір з поточковою збіжністю Простір Гарді Простір Гельдера Càdlàg функції (Простір Скорохода) простір всіх Ліпшицевих функцій на зникаючих в нулі.
Джерела