У математиці метод позбавлення від знаменників, також званий позбавленням від дробів — техніка спрощення рівняння, в якому прирівнюються два вирази, кожен з яких є сумою раціональних виразів, включно зі звичайними дробами.
Приклад Розглянемо рівняння
Найменше спільне кратне двох знаменників і дорівнює , тому обидві частини множимо на :
Результатом є рівняння без дробів.
Спрощене рівняння не зовсім еквівалентне початковому: коли в останнє рівняння підставити і , обидві частини спрощуються до , тому отримуємо правильну рівність . Але така ж заміна, застосована до початкового рівняння, призводить до , що не має сенсу.
Опис можна вважати, що рівняння дорівнює 0, оскільки рівняння можна еквівалентно переписати у вигляді .
Отже, нехай рівняння має вигляд
Першим кроком є визначення спільного знаменника цих дробів — бажано найменшого спільного знаменника, який є найменшим спільним кратним .
Це означає, що кожен є множником , тому для деякого виразу , який не є дробом. Потім
за умови, що не набуває значення 0 — у цьому випадку також дорівнює 0.
Маємо
За умови, що не набуває значення 0, останнє рівняння еквівалентне
у якому знаменники відсутні.
Як показано вище, слід бути уважним, щоб уникнути сторонніх розв'язків, за яких перетворюється на нуль.
Приклад 2 Розглянемо рівняння
Найменший спільний знаменник дорівнює .
Дотримання методу, описаного вище, приводить до
Подальше спрощення дає розв'язок .
Легко перевірити, що жоден із нулів — а саме , та — не є розв'язком остаточного рівняння, тому хибних розв'язків немає.
Література