Число́ пі (позначається ) — математична константа, що визначається в Евклідовій геометрії як відношення довжини кола до його діаметра :
або як площа круга одиничного радіуса.
Число виникло в геометрії як відношення довжини кола до довжини його діаметра, проте воно з'являється і в інших галузях математики. Вперше позначенням цього числа грецькою літерою π скористався британський (валлійський) математик Вільям Джонс (1706), а загальноприйнятим воно стало після робіт Леонарда Ейлера (1737)Сьогодні — День числа Пі zik.ua 14.03.2017. Це позначення походить від початкової букви грецьких слів περιφέρεια — оточення, периферія та περίμετρος — периметр.
Оскільки є ірраціональним числом, його не можна виразити дробом (або, що те саме, його десяткове представлення є нескінченним та неперіодичним). Проте дроби, такі як і інші, часто застосовуються для наближення числа .
Вважається, що різні цифри у десятковому представленні числа зустрічаються однаково часто (тобто є нормальним числом), проте це не доведено. Також є трансцендентним числом — тобто не є коренем жодного ненульового полінома з раціональними коефіцієнтами. З цього випливає, що неможливо розв'язати відому античну задачу про квадратуру круга за допомогою циркуля та лінійки.
Стародавні цивілізації користувалися приблизним значенням числа у практичних цілях. Близько 250 року до н. е. грецький математик Архімед у праці «Вимірювання кола» вперше обчислив число π. У V столітті н. е. китайські математики за допомогою геометричних методів обчислювали його до сьомого знаку після коми, а індійські — до п'ятого. Першою зручною формулою для наближеного обчислення числа є формула, що ґрунтується на сумі збіжного числового ряду, яка називається формулою Лейбніца.
Ірраціональність і трансцендентність Ірраціональність числа була вперше доведена Йоганном Ламбертом у 1761 році шляхом розкладу функції тангенс у неперервний дріб. Водночас його доведення не було строгим за сучасними мірками, бо уникало питання збіжності неперервних дробів. У 1794-му Лежандр дав строгіше доведення ірраціональності чисел π і π2.
У 1882 році професорові Кенігсберзького, пізніше Мюнхенського університетів Фердинанду фон Ліндеману вдалося довести трансцендентність числа π. Доведення цього факту спростив Фелікс Клейн в 1894 р. Його міркування були у праці «Питання елементарної і вищої математики», ч. 1, що вийшла в Геттінгені в 1908 р.
Оскільки в Евклідовій геометрії площа круга і довжина кола є функціями числа π, то доведення трансцендентності π поклало край суперечці про квадратуру круга, що тривала понад 2,5 тисячі років.
Співвідношення Найвідомішими формулами з числом є такі: Франсуа Вієт, 1593:
Формула Валліса:
Ряд Лейбніца:
Формула Г. В. Лейбніца
Тотожність Ейлера:
Так званий «інтеграл Пуассона» або «інтеграл Ґаусса»
Вираження через дилогарифм:
Історія розрахунків
Античність Найраніші писемні наближені значення числа датуються майже 1900 роком до н. е. — це ≈ 3,160 (Єгипет) і = 3,125 (Вавилон), обидва в межах 1 відсотка істинного значення. Індійський текст Шатапатха-Брахмана дає значення як ≈ 3,139. Вважається, що у параграфі із Першої книги Царів 7:23 і Другої Хронік 4:2, в якому описується церемоніальний басейн у храмі Царя Соломона діаметром в десять ліктів і периметром в тридцять ліктів, йдеться про число приблизно рівним трьом, що певні вчені намагались пояснити через різні припущення такі як шестикутний басейн або вигнутий назовні обідок.
Архімед (287—212 до н. е.), можливо, першим запропонував метод обчислення математичним способом. Для цього він вписував у коло і описував біля нього правильні багатокутники. Приймаючи діаметр кола за одиницю, Архімед розглядав периметр вписаного багатокутника як нижню оцінку довжини кола, а периметр описаного багатокутника — як верхню оцінку. Таким чином, для шестикутника виходить .
Розглядаючи правильний 96-кутник, Архімед отримав оцінку .
Птоломей в своєму Альмагесті дає значення 3,1416, яке він міг отримати в Аполлонія з Перги.C. Boyer, A History of Mathematics, Wiley, p. 168.
Близько 265 року н. е. математик Лю Хуей знайшов простий і точний спосіб ітераційного алгоритму розрахунку числа з будь-якою точністю. Він особисто довів розрахунок до 3072-кутника і отримав наближене значення ≈ 3,1416.C. Boyer, A History of Mathematics, Wiley, p. 202. Пізніше Лю Хуей винайшов швидкий спосіб розрахунку і отримав наближене значення 3,14, провівши розрахунок тільки для 96-кутника та скориставшись із того факту, що різниця в площі між серією багатокутників утворюють геометричну прогресію, кратну 4.
Близько 480 року китайський математик Цу Чунчжі продемонстрував, що ≈ (≈ 3,1415929), і показав, що 3,1415926 < < 3,1415927. Використавши алгоритм Лю Хуея, він довів розрахунок до 12288-кутника. Це значення залишалось найточнішим наближенням протягом 900 років.
В Індії Аріабхата і Бхаскара використовували наближення = 3,1416.
Друге тисячоліття нашої ери
До другого тисячоліття н. е. число було розраховане з точністю не більшою ніж 10 цифр в записі числа. Наступний великий поступ у вивченні числа прийшов з розвитком нескінченних рядів і, відповідно, з відкриттям математичного аналізу, що дозволило розраховувати з будь-якою бажаною точністю розглядаючи необхідну кількість членів такого ряду. Близько 1400 року Мадхава зі Сангамаграми знайшов перший з таких рядів:
Зараз цей ряд відомий як ряд Мадхави — Лейбніца або ряд Грегорі-Лейбніца оскільки його знову відкрили Джеймс Грегорі та Готфрід Лейбніц у 17-тому столітті. Проте, швидкість сходження занадто повільна, щоб розрахувати багато значущих цифр на практиці; треба додати близько 4000 членів ряду, щоб вдосконалити наближення Архімеда. Проте, перетворивши ряд у такий вигляд
Мадхава зміг розрахувати як 3,14159265359, що правильно з точністю до 11 десяткових цифр. Цей рекорд побив Перський математик Джамшид аль-Каші, який розрахував з точністю до 16 десяткових цифр.
Перший значний європейський внесок з часів Архімеда зробив німецький математик Лудольф ван Цейлен (1536—1610). Він витратив десять років на обчислення числа з 20-ма десятковими цифрами (цей результат був опублікований у 1596 році). Застосувавши метод Архімеда, він довів подвоєння до n-кутника, де n=60·229. Виклавши свої результати в творі «Про коло» («Van den Cirkel»), Лудольф закінчив його словами: «У кого є бажання, хай йде далі». Після смерті в його рукописах було виявлено ще 15 точних цифр числа . Лудольф заповів, щоб знайдені ним знаки були висічені на його надгробному камені. На честь його число іноді називали «лудольфовим числом».
Приблизно в той самий час в Європі з'явились методи розрахунку нескінченних рядів та добутків. Першим таким представленням була формула Вієта:
яку знайшов Франсуа Вієт в 1593 році. Інший відомий результат — це формула Валліса:
знайдена Джоном Валлісом в 1655.
Ісаак Ньютон вивів arcsin ряд для в 1665-66 і розрахував 15 цифр:
хоча він пізніше визнав: «Мені соромно казати, як багато разів я виконав ці розрахунки, не робив ніяких інших справ увесь цей час». Він сходиться лінійно до зі швидкістю сходження μ, яка додає щонайменше три десяткові цифри за кожних 5 доданків. Коли n прямує у нескінченність, μ наближається до і наближається до 4: .
В 1706 Джон Мечин був першим, хто розрахував 100 десяткових цифр числа , використовуючи ряди arctan у формулі:
де
Розклавши арктангенс у ряд Тейлора, можна отримати ряд, що швидко збігається і придатний для обчислення числа з більшою точністю. Ейлер, автор позначення , отримав 153 правильних знаків.
У 1777 році Бюффон запропонував статистичний метод обчислення числа пі, відомий як приклад Бюффона.
У 1873 році англієць В. Шенкс, після 15 років праці, обчислив 707 знаків; щоправда, через помилку тільки перші 527 з них були правильними. Щоб запобігти подібних помилок, сучасні обрахування такого роду здійснюються двічі. Якщо результати збігаються, то вони зі значною ймовірністю правильні. Помилку Шенкса було виявлено у 1948 році одним із перших комп'ютерів, ним же за декілька годин було вирахувано 808 знаків .
Теоретичні досягнення в 18-му століття привели до осягнення природи числа , чого не вдалось би досягнути тільки самими числовими розрахунками. Йоганн Генріх Ламберт довів ірраціональність 1761 року, а Адрієн-Марі Лежандр 1774 року довів ірраціональність 2. Тоді як Леонард Ейлер 1735 року розв'язав знамениту Базельську задачу і в результаті знайшов точне значення Ріманової дзета-функції для числа 2.
що дорівнює 2/6, так він відкрив одну з найвідоміших формул природного зв'язку між та простими числами. Обоє Лежандр та Ейлер передбачали, що число має бути трансцендентне, що зрештою довів Фердинанд фон Ліндеман 1882 року.
Обчислення в епоху комп'ютерів Практично, фізикам потрібно тільки 39 цифр числа , щоб обрахувати об'єм всесвіту з точністю до розміру атома водню.
Настання епохи цифрових комп'ютерів в XX столітті призвело до зростання кількості нових рекордів в розрахунку числа . Джон фон Нейман та його команда використали ENIAC, щоб розрахувати 2037 цифр числа 1949 року, цей розрахунок тривав 70 годин.«An {ENIAC} Determination of pi and e to more than 2000 Decimal Places», Mathematical Tables and Other Aids to Computation, 4 (29), pp. 11-15. (January,1950)«Statistical Treatment of Values of First 2,000 Decimal Digits of e and of pi Calculated on the ENIAC», Mathematical Tables and Other Aids to Computation, 4 (30), pp. 109—111. (April,1950) Додаткові тисячі десяткових розрядів отримали в наступні десятиріччя, а рубіж в мільйон цифр перетнули в 1973 році. 1995 року отримано вже знаківftp://pi.super-computing.org/README.our_last_record_6b. Прогрес був спричинений не тільки швидшими комп'ютерами, але й новими алгоритмами. Один з найзначніших проривів було відкриття швидкого перетворення Фур'є в 1960-х, що дало можливість комп'ютерам робити швидко арифметичні дії з надзвичайно великими числами.
На початку XX століття індійський математик Срініваса Рамануджан відкрив багато нових формул для числа , деякі з них стали знамениті через свою елегантність та математичну глибину. Обчислювальні алгоритми, засновані на формулах Рамануджана працюють дуже швидко. Одна з цих формул:
де k! — це факторіал k
А ось також добірка інших формул:
де
це символ Покхемера для спадного факторіала.
Формула братів Чудновських Пов'язану формулу відкрили брати Чудновскі 1987 року:
,
який дає 14 цифр за один член ряду. Чудновскі використали цю формулу, щоб встановити кілька рекордів з обчислення числа в кінці 1980-х, включно з першим обчисленням понад 1 мільярд (1,011,196,691) знаків 1989 року. Ця формула залишається добрим вибором для розрахунку для програм, що працюють на персональному комп'ютері, на противагу суперкомп'ютерам, які використовують для встановлення сучасних рекордів.
Тоді як ряди зазвичай підвищують точність на певну кількість розрядів за кожен член ряду, існують також алгоритми, що багатократно збільшують кількість правильних цифр за кожен підхід, з тим недоліком, що кожен крок вимагає значної кількості обчислювальних ресурсів. Прорив був зроблений 1975 року, коли Річард Брент та Юджин Саламін незалежно один від одного відкрили алгоритм Брента — Саламіна, в якому використовуються тільки арифметичні дії для подвоєння кількості правильних цифр за кожен крок. На початковому етапі алгоритму встановимо такі вихідні значення:
і проводимо ітерації
до тих пір, поки an and bn не стануть достатньо близькі. Тоді оцінка значення проводиться за формулою: