Ді́лення, заст. ділі́ння — у математиці одна з чотирьох базових арифметичних операцій (іншими є додавання, віднімання, множення). Ділення натуральних чисел — це процес розрахунку кількості, скільки разів одне число міститься в другому числі. Наприклад, на малюнку праворуч 20 яблук розділено на чотири групи по п'ять яблук, це означає, що двадцять розділене на п'ять дорівнює чотири, або чотири є результатом ділення двадцяти на п'ять. Це позначається як , , або .
Ділення має два операнди: ділене — число (чи математичний об'єкт), який ділять; дільник — число (чи математичний об'єкт), на який ділять.
Результат ділення називають часткою.
Під час ділення потрібно знайти таку частку , яка при множенні на дільник дала б ділене .
Ділення чисел позначають: двокрапкою знаком скісною рискою або дробом в чисельнику якого записують ділене, а в знаменнику — дільник.
Ділення — бінарна операція, обернена множенню; тобто якщо , тоді , за умови що не є нулем. Ділення на нуль для дійсних чисел і в більшості інших випадків є невизначеним, оскільки, якщо , тоді не можна отримати із і , оскільки тоді завжди дорівнюватиме нулю незалежно від .
Розрахунок
Методи ділення вручну Ділення зазвичай пояснюють як процедуру розділення множини об'єктів, наприклад яблук, на деяку задану кількість частин. Розділення об'єктів по одному, з повторенням процедури по колу, веде до методу «», тобто ділення виконується за допомогою повторюваних кроків віднімання.
Систематизованіше й ефективніше, і водночас формалізованіше й на основі правил, людина, яка знає таблицю множення, може поділити два цілих числа за допомогою розрахунків на папері, використовуючи метод , якщо дільник є простим числом. Для більших значень дільників застосовують процедуру ділення стовпчиком. Якщо частка має дробову частину (задану у вигляді десяткового дробу), алгоритм ділення можна продовжити і розрахувати необхідну кількість значень після коми. Якщо дільник має дробову частину для виконання розрахунку можна перемістити знак коми праворуч, щоб дільник став цілим числом, і виконати розрахунок як для цілих чисел.
Ділення можна розрахувати за допомогою рахівниці, перемістивши необхідне число декілька разів, а потім підрахувати кількість зсувів у підсумку.
Для ділення двох чисел можна застосувати логарифмічні таблиці, віднявши логарифми двох чисел, а потім знайшовши логарифм результату віднімання.
За допомогою комп'ютера Сучасні комп'ютери розраховують операцію ділення за допомогою методів, що є швидшими від методу довгого ділення. Наприклад, Ділення із залишком, див. .
У модульній арифметиці (модуль простого числа) і для дійсних чисел ненульові числа мають обернене за модулем число. В таких випадках ділення на число можна розрахувати як добуток на обернене число . Цей підхід зазвичай є найефективнішим.
Властивості Ділення є дистрибутивною справа для операцій додавання і віднімання. Це означає:
так само як і при множенні . Але ділення не є дистрибутивним зліва, тобто
на відміну від множення.
Якщо виконується декілька операцій ділення, вони виконуються в порядку як вони записані в рядок зліва направоGeorge Mark Bergman: Order of arithmetic operations Education Place: The Order of Operations , це називається асоціативністю зліва: .
Обернений елемент Ділення еквівалентне множенню на обернений елемент:
Таке визначення ділення, зазвичай, застосовують для складних математичних об'єктів.
Ліве та праве ділення Операція множення для складних математичних об'єктів не завжди є комутативною, тому, рівняння та можуть мати різні розв'язки.
У зв'язку з цим використовуються терміни правого та лівого ділення згідно з розв'язками зазначених рівнянь чи множення зліва / справа на обернений елемент:
Ділення раціональних чисел Очевидно, що результат ділення цілого числа на ціле число не завжди буде цілим. Замкнутими відносно ділення є раціональні числа.
Для обчислення ділення раціональних чисел використовують множення на число обернене до дільника:
Ділення дійсних чисел Ділення двох дійсних чисел дає в результаті інше дійсне число, коли дільник не 0. Воно буде визначене наступним чином a/b = c тоді і лише тоді, коли a = cb і b ≠ 0.
Ділення на нуль
Ділення будь-якого числа на нуль (коли дільник дорівнює нулю) є невизначеним. Це тому, що множення будь-якого скінченного числа на нуль завжди в результаті дає нуль. Якщо ввести такий вираз у калькулятор, більшість з них напише повідомлення про помилку.
Ділення комплексних чисел Для того, щоб поділити комплексне число на комплексне число потрібно записати частку у вигляді дробу, а потім домножити чисельник і знаменник на число спряжене до знаменника
Ділення матриць Для обчислення ділення матриць використовують домножання на матрицю обернену до дільника. А оскільки множення матриць не є комутативним, то можливе праве та ліве ділення. Якщо дільник є виродженою матрицею (тобто, для неї не існує оберненої), то можливе використання псевдооберненої матриці.
Див. також Ділення стовпчиком Ділення з остачею Ділення многочленів
Примітки
Джерела