У теорії чисел число Геґнера (як його назвали Конвей і Ґай) — вільне від квадратів натуральне число d таке, що уявне квадратичне поле має число класів 1. Еквівалентно, кільце цілих алгебричних чисел має унікальну факторизацію.
Визначення таких чисел є окремим випадком , і вони лежать в основі кількох важливих результатів у теорії чисел.
Згідно з існує рівно дев'ять чисел Геґнера:
Цей результат запропонував Гаусс і довів 1952 року з незначними недоліками . 1966 року Алан Бейкер і Гарольд Старк, незалежно один від одного, довели результат, і Старк пізніше зазначив, що прогалина в доведенні Геґнера була незначною.
Многочлен Ейлера для отримання простих чисел Многочлен Ейлера який дає (різні) прості числа для n = 0, … , 39, пов'язаний із числом Геґнера 163 = 4 · 41 − 1.
Рабинович довів, що дає прості числа для тоді й лише тоді, коли дискримінант є протилежним до числа Геґнера.
(Зверніть увагу, що перетворює вираз на , отже, є найбільшим.)
1, 2 і 3 не мають необхідної форми, тому працюють числа Геґнера: 7, 11, 19, 43, 67, 163, що дає прості твірні функції форми Ейлера для 2, 3, 5, 11, 17, 41; ці останні числа Ф. Ле Ліонне назвав щасливими числами Ейлера.
Майже цілі числа та стала Рамануджана Стала Рамануджана — трансцендентне число gives , based on Nesterenko, Yu. V. «On Algebraic Independence of the Components of Solutions of a System of Linear Differential Equations.» Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495—512, 1974. English translation in Math. USSR 8, 501—518, 1974. , яке є майже цілим числом:
Це число відкрив 1859 року математик Шарль Ерміт. У першоквітневій статті 1975 року в журналі Scientific American автор рубрики математичних ігор і розваг Мартін Ґарднер опублікував обманне повідомлення про те, що число насправді ціле і що передбачив його індійський математичний геній Срініваса Рамануджан — звідси й назва.
Цей збіг пояснюється і q-розкладом j-інваріанта.
Подробиці Далі позначає j-інваріант комплексного числа . Коротко, є цілим числом для числа Геґнера , і через q-розклад.
Якщо — квадратичне ірраціональне, то його j-інваріант є алгебричним цілим числом степеня , числа класів , а мінімальний многочлен (нормований інтеграл), який він задовольняє, називається «поліном класу Гільберта». Таким чином, якщо уявне квадратичне розширення має число класів 1 (тобот d є числом Геґнера), j-інваріант є цілим числом.
q-розклад j із його розкладом у ряд Фур'є, записаним як ряд Лорана, де , починається так:
Коефіцієнти асимптотично зростають як а коефіцієнти нижчого порядку зростають повільніше, ніж , тому для j дуже добре апроксимується його першими двома членами. Якщо , маємо Тоді отже, Або де лінійний член похибки, , що й пояснює, чому близьке до зазначеного вище цілого числа.
Формули числа пі Брати Чудновські 1987 року виявили, що у доведенні чого використовується той факт, що Подібні формули див. також у статті .
Інші числа Геґнера Для чотирьох найбільших чисел Геґнера можна отримати такі наближення:
Інакше, де появу квадратів спричиняє певний ряд Ейзенштейна. Для чисел Геґнера майже ціле число не вийде; навіть не варте уваги.Величина абсолютного відхилення випадкового дійсного числа (вибраного рівномірно, наприклад, з інтервалу) рівномірно розподіленою на , отже воно має середнє абсолютне відхилення і медіану абсолютних відхилень 0,25, а відхилення 0,22 не є винятковим. Цілі j-інваріанти добре факторизуються, що випливає з форми
і розкладаються як,
Ці трансцендентні числа, крім того, що вони точно апроксимуються цілими числами (які є просто алгебричними числами степеня 1), можна близько апроксимувати алгебричними числами степеня 3:
Корені кубічних рівнянь можна точно задати коефіцієнтами η (τ), модульної функції, що включає корінь 24-го степеня і пояснює появу 24 в наближенні. Їх також можна близько апроксимувати алгебричними числами 4-го степеня,
Якщо — вираз у дужках (наприклад, ), маємо відповідно рівняння четвертого степеня
Зверніть увагу на повторну появу цілих чисел а також те, що які, з відповідним дробовим ступенем, є саме j-інваріантами.
Аналогічно для алгебричних чисел степеня 6,
де ікси є відповідно коренями рівнянь шостого степеня,
де знову з'являються j-інваріанти. Ці рівняння 6 степеня є не тільки алгебричними, вони також розв'язні в радикалах, оскільки вони розкладаються на два многочлени 3 степеня над розширенням (із першим розкладанням на два квадратні многочлени). Ці алгебричні наближення можна точно виразити через ета-коефіцієнти Дедекінда. Як приклад наведемо , тоді,
де ета-коефіцієнти є алгебричними числами, наведеними вище.
Числа 2 класу Три числа 88, 148, 232, для яких уявне квадратичне поле має число класів 2, не є числами Геґнера, але мають певні подібні властивості в термінах майже цілих чисел. Наприклад, і
Послідовні прості числа Для непарного простого числа p, якщо обчислити для (цього достатньо, оскільки ), отримуємо послідовні складені числа, а потім послідовні прості числа, тоді й лише тоді, коли p є числом Геґнера.
Детальніше див. статтю Річарда Молліна «Квадратичні поліноми, що породжують послідовні різні прості числа та групи класів комплексних квадратичних полів».
Примітки
Посилання
Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld: Докладна історія проблеми.