Метод Остроградського — метод інтегрування раціональних функцій з кратними незвідними множниками у знаменнику. Запропонований Михайлом Остроградський 1844 року.
Метод дозволяє не робити розкладання раціонального дробу на суму найпростіших і лише алгебраїчними операціями звести завдання інтегрування довільної раціональної функції до завдання інтегрування раціональної функції без кратних коренів у знаменнику.
Опис методу Інтеграл від раціональної функції можно подати у вигляді , де — добуток всіх незвідних множників многочлена взятих без врахування кратності (тобто в першому степені), — добуток всіх незвідних множників многочлена з кратністю зменшеною на 1.
Тобто . Обидва дроби в правій частині є правильними. І відповідно називаються: — раціональною частиною інтеграла раціональної функції, — трансцендентною частиною інтеграла раціональної функції.
Тепер обчислимо коефіцієнти многочленів і . Продиференціюємо рівність і домножимо обидві сторони на : . . Замінимо на : .
Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях і з системи лінійних алгебраїчних рівнянь знайдемо їх.
Доведення Оскільки в знаменнику немає кратних множників то їх не буде і при розкладі на елементарні множники. Тому при інтегруванні отримаємо тільки доданки з логарифмами і арктангенсами. Розклавши на елементарні множники і проінтегрувавши тільки доданки з кратними множниками їх степені зменшаться на одиницю. А потім при зведенні до спільного знаменника утворять многочлен .
Приклад 1 .
Диференціюючи обидві частини рівності, знаходимо .
Зводячи до спільного знаменника і прирівнюючи чисельники, одержуємо .
Розв’язуючи яку, знаходимо . Отже, .
Джерела