Модель піщаної купи () — класична модель теорії самоорганізованої критичності, пов'язана з багатьма галузями математики.
Опис та властивості моделі У найпростішому варіанті модель формулюється так. Розглянемо квадратну сітку. На ній розташована піщана купа: у кожному вузлі сітки міститься стопка з кількох піщин. Якщо на деякому вузлі в стопці 4 піщинки або більше, то купа нестабільна і відбувається обвал (): із цього вузла в 4 сусідні вузли переміщається по 1 піщинці. Обвали відбуваються доти, доки купа не стане стабільною, тобто поки в кожному вузлі не залишиться менше 4 піщин; при цьому отримана піщана купа не залежить від того, в якому порядку відбувалися обвали.
Природно ввести на множині стабільних піщаних куп операцію «додавання»: щоб отримати суму двох куп, потрібно помістити в кожен вузол сітки всі піщинки з відповідного вузла в першій і в другій купі, а потім зробити необхідні обвали, щоб знову вийшла стабільна купа. З такою операцією додавання множина піщаних куп стає комутативним моноїдом. Нейтральний елемент — така купа, яка при додаванні до будь-якої іншої купи не змінює її — це порожня сітка без єдиної піщинки.
Не обов'язково розглядати модель піщаної купи на квадратній сітці. Можна замість квадратної сітки взяти іншу (у цьому випадку обвал має відбуватися не при 4 піщинках у вузлі, а при кількостіі піщин, яка дорівнює кількості сусідів), наприклад, трикутну, або взагалі різні нескінченні неорієнтовані або орієнтовані графи або мультиграфи. Крім того, можна розглядати і піщані купи на скінченному графі, якщо деякі вузли в ньому є стоками () — потрапляючи в них, піщинки не накопичуються, а зникають.
Множина стабільних піщаних куп на скінченному графі (наприклад, скінченній прямокутній сітці, оточеній з усіх боків вершинами-стоками) також буде скінченною. У скінченному комутативному моноїді можна виділити певну підмножину (а саме, його мінімальний ідеал), яка буде групою відносно тієї ж операції (в цьому випадку, додавання куп). Таку групу називають для даного графа групою піщаної купи графа, купи, що входять до неї, називають зворотними (). Однак нейтральний елемент у цій групі, загалом, відрізняється від нейтрального елемента моноїда. Більш того, група піщаних куп примітна ще й тим, що нейтральний елемент у ній виглядає зовсім не тривіально і навіть виявляє риси фракталу.
Зв'язки моделі піщаної купи з різними галузями математики глибокі та різноманітні. Розмір ділянки, заторкнутої обвалами при додаванні до випадкової піщаної купи ще однієї піщинки, підпорядковується степеневому розподілу, що характерно для критичних явищ. Нестабільну купу, в якій відбуваються обвали, можна вважати клітинним автоматом. Обвал у піщаній купі можна описати за допомогою матриці Кірхгофа, що через матричну теорему про дерева пов'язує порядок групи піщаних куп із кількістю кістяків на графі (існує й безпосередня бієкція), а також із теоремою Рімана — Роха для графів. Обчислення щільності піщин у купі, яка виходить з багатьох піщин, насипаних в один вузол нескінченної квадратної сітки, пов'язане зі сіткою Аполлонія. У піщаних купах на скінченній квадратній сітці можна отримати тропічні криві.
Див. також Парадокс нагромадження
Примітки
Література