Адіабатичний інваріант — величина, що не міняється при плавній «адіабатичній» зміні параметра фізичної системи. Адіабатичність зміни параметра означає те, що характерний час цієї зміни набагато більший за характерний час процесів, які відбуваються в самій системі.
Класична механіка У класичній механічній системі, яка здійснює періодичний рух з періодом T і залежить від параметра , адіабатичність зміни параметра визначається умовою .
Функція гамільтона системи залежить від її внутрішніх змінних та параметра
Внутрішні змінні q і p міняються з часом швидко, з періодом T. Але енергія системи E є інтергралом руху при незмінному параметрі. При зміні параметра .
При усередненні цього виразу по часу впродовж періоду можна вважати, що параметр незмінний. ,
де усереднення визначене як .
Зручно перейти від інтегрування по часу до інтегрування по змінній q: .
У такому випадку, період T дорівнює ,
де інтегрування проводиться вперед і назад у межах зміни координати за період руху.
Записуючи імпульс, як функцію енергії E, координати q і параметра , після деяких перетворень можна отримати .
Остаточно, можна записати ,
де величина , і буде адіабатичним інваріантом. Інтеграл береться по траєкторії руху при заданих E та
Властивості адіабатичного інваріанту Похідна від адіабатичного інваріанту по енергії дорівнює періоду, розділеному на .
або ,
де — циклічна частота.
Адіабатичний інваріант можна, також виразити через площу, визначеному замкнутою траєкторією, в фазовому просторі .
За допомогою канонічних перетворень можна зробити адіабатичний інваріант новою змінною, яка називається змінною дії. В новій системі змінних вона відіграє роль імпульсу. Канонічно спряжена до неї змінна називається кутовою змінною.