У математиці, в теорії диференціальних рівнянь та динамічних систем, окремий стаціонарний або квазістаціонарний розв'язок нелінійної системи називається лінійно нестійким, якщо лінеаризація рівняння в цьому розв'язку має вигляд , де r — збурення стаціонарного стану, A — лінійний оператор, спектр якого містить власні значення з додатною дійсною частиною. Якщо всі власні значення мають від'ємну дійсну частину, то розв'язок називається лінійно стійким. Інші назви лінійної стійкості включають експоненціальну стійкість або стійкість у першому наближенні. Якщо існує власне значення з нульовою дійсною частиною, то питання стійкості не може бути розв'язане на основі першого наближення, і тоді розглядають так звану «проблему центру та фокуса».
Приклади
Звичайне диференціальне рівняння Розглянемо рівняння: Воно має два стаціонарні (незалежні від часу) розв'язки: x = 0 та х = 1. Лінеаризація поблизу x = 0 має вигляд . Лінеаризований оператор — це A 0 = 1. Єдине власне значення — . Оскільки розв'язки цього рівняння зростають експоненційно, стаціонарна точка x = 0 є лінійно нестійкою.
Щоб отримати лінеаризацію поблизу , запишемо , де . Тоді, лінеаризоване рівняння має вигляд ; лінійний оператор має вигляд , єдине власне значення — , отже, ця стаціонарна точка є лінійно стійкою.
Нелінійне рівняння Шредінгера Нелінійне рівняння Шредінгера має вигляд:де та . Воно має солітарні хвильові розв'язки виду . Щоб отримати лінійне наближення (лінеаризацію) поблизу солітарної хвилі, розглядається розв'язок у формі . Лінеаризоване рівняння на має вигляд: де а і диференціальні оператори. Згідно з критерієм стійкості Вахітова-Колоколова, при , спектр A має додатні точкові власні значення, тому лінеаризоване рівняння є лінійно (експоненційно) нестійким; при , спектр A є чисто уявним, отже відповідні поодинокі хвилі є лінійно стійкими.
Слід зазначити, що лінійна стійкість не завжди означає повну (нелінійну) стійкість; зокрема, коли , поодинокі (солітарні) хвилі є нестійкими. З іншого боку, для , поодинокі хвилі є не тільки лінійно стійкими, але й орбітально стійкими.
Див. також
Асимптотична стійкість Лінеаризація (аналіз стійкості) Стійкість Ляпунова Орбітальна стійкість Теорія стійкості Критерій стійкості Вахітова–Колоколова
Посилання
Джерела