Сфероїд Маклорена — сплющений сфероїд, який виникає, коли самогравітуюче рідке тіло з однорідною густиною обертається з постійною кутовою швидкістю. Цей сфероїд названий на честь шотландського математика Коліна Маклорена, який дослідив його в 1742 році для визначення форми ЗемліMaclaurin, Colin. A Treatise of Fluxions: In Two Books. 1. Vol. 1. Ruddimans, 1742.. Насправді фігура Землі набагато менш сплющена, ніж припускає формула Маклорена, оскільки Земля не є однорідною, а має щільне залізне ядро. Сфероїд Маклорена вважають найпростішою моделлю обертових еліпсоїдальних фігур у гідростатичній рівновазі. За великого моменту імпульсу сфероїд Маклорена втрачає стійкість і переходить в еліпсоїд Якобі.
Формула Маклорена
Для сфероїда з великою (екваторіальною) піввіссю і малою (полярною) піввіссю , кутова швидкість навколо осі задається формулою МаклоренаChandrasekhar, Subrahmanyan. Ellipsoidal figures of equilibrium. Vol. 10. New Haven: Yale University Press, 1969.
де — ексцентриситет меридіонального поперечного перерізу сфероїда, — густина, а — гравітаційна стала. Формула передбачає дві можливі фігури рівноваги, одна з яких наближається до сфери (), коли , а інша наближається до дуже сплющеного сфероїда (), коли . Максимальна кутова швидкість досягається при ексцентриситеті , а її значення , так що вище цієї швидкості рівноважних фігур не існує. Кутовий момент виражається формулою
де — маса сфероїда, а — середній радіус, тобто радіус сфери того ж об'єму, що й сфероїд.
Стійкість
Для сфероїда Маклорена з ексцентриситетом більше 0,812670 меншу повну енергію має еліпсоїд Якобі з тим самим кутовим моментом. Якщо такий сфероїд утворений в'язкою рідиною (або здатний втрачати енергію на випромінювання гравітаційних хвиль), і якщо він зазнає збурення, яке порушує його осьову симетрію, то він поступово видовжуватиметься до форми еліпсоїда Якобі, витрачаючи при цьому свою надлишкову енергію на тепло (або на гравітаційні хвилі). Це називається віковою нестійкістю; див. . Однак для подібного сфероїда, що складається з нев'язкої рідини (і за відсутності втрат на випромінювання або на гравітаційні хвилі), збурення призведе лише до незатухаючого коливання. Це описується як динамічна стійкість.
Сфероїд Маклорена з ексцентриситетом понад 0,952887 є динамічно нестійким. Навіть якщо він складається з нев'язкої рідини та не має можливості втратити енергію, відповідне збурення зростатиме (принаймні спочатку) експоненціально. Динамічна нестійкість означає вікову нестійкість (а вікова стійкість означає динамічну стійкість).
Див. також
Еліпсоїд Якобі
Примітки