У математичному аналізі правило похідної оберненої функції — це формула, що виражає похідну оберненої до бієктивної та диференційовної функції через похідну самої функції. Точніше, якщо обернена функція позначається як , де тоді й тільки тоді, коли , то правило має вигляд (у записі Лагранжа):

Ця формула справджується тоді, коли є неперервною та ін'єктивною на інтервалі , причому диференційовна в точці () і . Цю ж формулу можна записати у вигляді

де — оператор похідної, а — композиція функцій.

Геометрично, графіки функції та її оберненої є відображенням один одного відносно прямої . Це відображення перетворює нахил будь-якої дотичної на його обернене значення.

Якщо має обернену у околі точки і її похідна в цій точці ненульова, то обернена також є диференційовною в тій точці з похідною, заданою наведеною формулою.

Правило також можна записати у позначеннях Лейбніца:

Це випливає з диференціювання рівняння за і застосування ланцюгового правила: , враховуючи, що похідна за самим собою дорівнює 1.

Виведення Нехай — обернена (бієктивна) функція, — точка з області визначення, , і . Тоді Диференціюючи обидві частини за і застосовуючи ланцюгове правило, отримаємо:

Отже, , або

Приклади

(для додатних ) має обернену .

При виникає проблема: графік функції квадратного кореня стає вертикальним, що відповідає горизонтальній дотичній для квадратичної функції.

має обернену (для додатних )

Додаткові властивості

Інтегрування цього співвідношення дає

Формула корисна лише тоді, коли існує інтеграл, тобто на всьому проміжку.

Звідси випливає, що якщо функція має неперервну похідну, то вона має обернену в околі кожної точки, де похідна ненульова.

Інша важлива властивість: , де — первісна від .

Обернена до похідної функція також використовується, наприклад, при доведенні опуклості перетворення Лежандра.

Вищі похідні

З ланцюгового правила випливає, що: . Диференціюючи двічі, отримуємо

Після підстановки:

Аналогічно для третьої похідної:

У записі Лагранжа:

і в загальному вигляді:

Див. також

Похідна композиції функцій]] Теорема про неявну функцію Обернена функція Теорема про обернену функцію Диференціювання тригонометричних функцій Таблиця похідних Інтегрування обернених функцій

Примітки

Джерела