Система диференціальних рівнянь — це скінченна множина диференціальних рівнянь. Така система може бути лінійною або нелінійною. Також система може складатися або з звичайних диференціальних рівнянь, або з рівнянь у частинних похідних.
Лінійні системи диференціальних рівнянь
Система звичайних диференціальних рівнянь першого порядку — це система, у якій кожне рівняння є рівнянням першого порядку і залежить від невідомих функцій лінійно. Розглянемо системи, де кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих функцій. Її можна записати у вигляді:
де — додатне ціле число, а — довільні функції незалежної змінної (t).
У матричній формі система записується так:
або, просто
.
Однорідні системи диференціальних рівнянь Лінійна система називається однорідною, якщо для кожного і всіх значень ; інакше вона є неоднорідною. Якщо — лінійно незалежні розв’язки системи, то будь-яка їхня лінійна комбінація також є розв’язком.
Якщо всі коефіцієнти сталі, загальний розв’язок має вигляд:
де — власні значення матриці , а — відповідні власні вектори.
Лінійна незалежність розв’язків Для довільної системи звичайних диференціальних рівнянь набір розв’язків називається лінійно незалежним, якщо рівність
виконується лише тоді, коли .
Диференціальне рівняння другого порядку можна звести до системи рівнянь першого порядку, ввівши :
Дві функції є лінійно незалежними, якщо визначник
Це поняття узагальнюється на системи другого порядку, і дві функції вважаються лінійно незалежними, якщо виконуються ці умови.
Надлишкові системи диференціальних рівнянь Як і будь-яка система рівнянь, система лінійних диференціальних рівнянь називається надлишковою, якщо кількість рівнянь перевищує кількість невідомих. Для існування розв’язку така система повинна задовольняти умовам сумісності.
Наприклад, для системи:
необхідні умови існування розв’язку:
Див. також: Задача Коші, Основний принцип Ернпрейза.
Нелінійні системи диференціальних рівнянь
Можливо, найвідомішим прикладом нелінійної системи є рівняння Нав'є — Стокса. На відміну від лінійних випадків, питання існування розв’язку нелінійної системи є складною проблемою.
Простим прикладом є рівняння Лотки — Вольтерри.
Диференціальні системи
Диференціальна система — це підхід до дослідження системи рівнянь з частинними похідними за допомогою геометричних понять, таких як диференціальні форми та векторні поля.
Наприклад, умови сумісності надлишкової системи можна коротко сформулювати в термінах диференціальних форм (форма є точною, якщо вона замкнена).
Див. також Система лінійних диференціальних рівнянь першого порядку зі сталими коефіцієнтами Фундаментальна матриця (лінійні диференціальні рівняння) Інтегральна геометрія Теорема продовження Картана — Кураніші
Примітки
Джерела
L. Ehrenpreis, The Universality of the Radon Transform, Oxford Univ. Press, 2003. M. Kuranishi, Lectures on involutive systems of partial differential equations, Publ. Soc. Mat. São Paulo (1967) Pierre Schapira, Microdifferential systems in the complex domain, Springer-Verlag, 1985.
Додаткова література
[(https://mathoverflow.net/questions/273235/a-very-basic-question-about-projections-in-formal-pde-theory) MathOverflow: Projections in formal PDE theory] [(https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Involutional_system) Involutional system — Encyclopedia of Math] [(https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Complete_system) Complete system] [(https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Partial_differential_equations_on_a_manifold) PDE on a manifold]