Фон-нейманівський аналіз стійкості (також відомий як Фур'є-аналіз стійкості) — процедура, яку використовують у чисельному аналізі для перевірки стійкості скінченно-різничних схем, застосовуваних до лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними. Аналіз базується на ряді Фур'є, застосованому до чисельної похибкиAnalysis of Numerical Methods by E. Isaacson, H. B. Keller. Метод був розроблений у Лос-Аламоській національній лабораторії після короткого опису в статті 1947 року британських дослідників Джона Кранка та Філліс Ніколсон. Цей метод є прикладом явного інтегрування за часом, де функція, що визначає керівне рівняння, обчислюється в поточний момент часу. Пізніше метод отримав більш строге тлумачення у статті написаній у співавторстві з Джоном фон Нейманом, де він описаний як «евристична процедура», створена за зразком більш строгого критерію Куранта — Фрідріха — Леві.

Чисельна стійкість Стійкість чисельних схем тісно пов'язана з чисельною похибкою. Метод скінченних різниць є стійким, якщо похибки, допущені на одному кроці обчислення, не призводять до збільшення похибок у міру продовження обчислень. Нейтально стійка схема — це схема, в якій похибки залишаються сталими під час виконання обчислень. Якщо похибки зменшуються і зрештою згасають, чисельну схему називають стійкою. Якщо, навпаки, похибки зростають з часом, чисельну схему називають нестійкою. Стійкість чисельних схем можна дослідити, виконавши фон-нейманівський аналіз стійкості. У загальному випадку дослідити стійкість буває важко, особливо коли розглядається .

У певних випадках стійкість за фон Нейманом є необхідною та достатньою для стійкості в сенсі Лакса — Ріхтмайєра (як використовується в ). У набагато ширшому діапазоні випадків стійкість за фон Нейманом є необхідною умовою. Завдяки відносній простоті її часто використовують замість більш детального аналізу стійкості, щоб отримати добру оцінку обмежень (якщо такі є) на розміри кроків, використовуваних у схемі.

Ілюстрація методу Фон-нейманівський аналіз стійкості базується на розкладанні похибок у ряд Фур'є. Для ілюстрації процедури розгляньмо одновимірне рівняння теплопровідності, визначене на просторовому інтервалі . Розгляньмо значення температур на дискретизованій просторово-часовій сітці де  — конкретні значення x, а є послідовністю значень t.

Дискретизована за схемою FTCS версія рівняння теплопровідності має вигляд

деТоді розв'язок дискретного рівняння апроксимує у вузлах сітки аналітичний розв'язок диференціального рівняння.

Похибка округлення визначається як де  — розв'язок дискретизованого рівняння (), який би обчислювався за відсутності похибки округлення, а  — чисельний розв'язок, отриманий в арифметиці скінченної точності. Оскільки точний розв'язок має точно задовольняти дискретизоване рівняння, похибка також має задовольняти дискретизоване рівняння. Тут ми припустили, що також задовольняє рівняння (це справедливо лише в межах машинної точності). Таким чином рекурентне співвідношення для похибки має вигляд

Рівняння () та () показують, що як похибка, так і чисельний розв'язок мають однакову поведінку зростання або спадання з часом. Для лінійних диференціальних рівнянь з періодичною граничною умовою просторова зміна похибки може бути розкладена в скінченний ряд Фур'є за змінною в інтервалі ,

де хвильове число , , а . Залежність похибки від часу можна визначити, якщо припустити, що амплітуда похибки є функцією часу. Часто роблять припущення, що з часом похибка зростає або зменшується експоненційно, але це не є необхідним для аналізу стійкості.

Якщо гранична умова не є періодичною, то ми можемо використовувати скінченний інтеграл Фур'є відносно :

Оскільки рівняння для похибки є лінійним (поведінка кожного члена ряду така ж, як і самого ряду), достатньо розглянути зростання похибки типового члена:

якщо використовувати ряд Фур'є, або

якщо використовувати інтеграл Фур'є.

Оскільки ряд Фур'є можна вважати окремим випадком інтеграла Фур'є, ми продовжимо аналіз, використовуючи вирази для інтеграла Фур'є.

Характеристики стійкості можна вивчати, використовуючи лише цю форму для похибки без втрати загальності. Щоб з'ясувати, як змінюється похибка з кроком у часі, підставимо рівняння () у рівняння (), попередньо зазначивши, що Після спрощень отримуємо

Вводимо та використовуємо формули Тоді рівняння () можна записати так:

Визначаємо коефіцієнт посилення

Необхідною та достатньою умовою для того, щоб похибка залишалася обмеженою, є те, що Таким чином, з рівнянь () та (), умова стійкості визначається як

Зверніть увагу, що член завжди додатний. Таким чином, щоб задовольнити рівняння ():

Для стійкості методу ця умова має виконуватися для всіх і тому для всіх . Найбільше значення, яке може приймати синусоїдальний член, дорівнює 1. Тому умова стійкості набуває форми

Рівняння () визначає вимогу стійкості для схеми FTCS, застосованої до одновимірного рівняння теплопровідності. Воно говорить, що для заданого , дозволене значення має бути достатньо малим, щоб задовольнити рівняння ().

Подібний аналіз показує, що схема FTCS для лінійної адвекції є безумовно нестійкою.

Примітки