Допасо́вування криво́їSandra Lach Arlinghaus, PHB Practical Handbook of Curve Fitting. CRC Press, 1994.William M. Kolb. Curve Fitting for Programmable Calculators. Syntec, Incorporated, 1984. () — це процес побудови кривої або математичної функції, що має найкраще наближення до ряду точок спостережень,S.S. Halli, K.V. Rao. 1992. Advanced Techniques of Population Analysis. Page 165 (cf. … functions are fulfilled if we have a good to moderate fit for the observed data.) можливо з урахуванням обмежень.The Signal and the Noise: Why So Many Predictions Fail-but Some Don't. By Nate SilverData Preparation for Data Mining: Text. By Dorian Pyle. Апроксимація кривої може передбачати як інтерполяцію,Numerical Methods in Engineering with MATLAB®. By Jaan Kiusalaas. Page 24.Numerical Methods in Engineering with Python 3. By Jaan Kiusalaas. Page 21. коли потрібне точне проходження через наявні дані, так і згладжування,Numerical Methods of Curve Fitting. By P. G. Guest, Philip George Guest. Page 349.Див. також: коли будується «гладка» функція, що лише приблизно відповідає даним. Суміжною темою є регресійний аналіз,Fitting Models to Biological Data Using Linear and Nonlinear Regression. By Harvey Motulsky, Arthur Christopoulos.Regression Analysis By Rudolf J. Freund, William J. Wilson, Ping Sa. Page 269. який більше зосереджується на питаннях статистичного виведення, зокрема на тому, яку невизначеність має крива, допасована до даних, виміряних із випадковими похибками. Апроксимовані криві можуть використовуватися для візуалізації даних,Visual Informatics. Edited by Halimah Badioze Zaman, Peter Robinson, Maria Petrou, Patrick Olivier, Heiko Schröder. Page 689.Numerical Methods for Nonlinear Engineering Models. By John R. Hauser. Page 227. для оцінювання значень функції там, де дані відсутні,Methods of Experimental Physics: Spectroscopy, Volume 13, Part 1. By Claire Marton. Page 150. а також для узагальнення взаємозв'язків між двома або більше змінними.Encyclopedia of Research Design, Volume 1. Edited by Neil J. Salkind. Page 266. Екстраполяція означає використання апроксимованої кривої за межами діапазону спостережуваних данихCommunity Analysis and Planning Techniques. By Richard E. Klosterman. Page 1. і супроводжується певним ступенем невизначеності,An Introduction to Risk and Uncertainty in the Evaluation of Environmental Investments. DIANE Publishing. Pg 69 оскільки може відображати не лише самі дані, а й метод, застосований для побудови кривої.

Для лінійно-алгебраїчного аналізу даних термін «підгонка» зазвичай означає спробу знайти криву, яка мінімізує вертикальне (по осі ) відхилення точки від кривої (наприклад, ). Проте для графічних та зображальних застосувань геометрична підгонка прагне забезпечити найкращу візуальну відповідність, що зазвичай означає спробу мінімізувати ортогональну відстань до кривої (наприклад, ) або іншим чином врахувати відхилення точки від кривої по обох осях. Геометричні підгонки не користуються популярністю, оскільки зазвичай потребують нелінійних та/або ітераційних обчислень, хоча вони мають перевагу у вигляді більш естетичного та геометрично точного результату.Chernov, N.; Ma, H. (2011), «Least squares fitting of quadratic curves and surfaces», in Yoshida, Sota R. (ed.), Computer vision, Nova Science Publishers, pp. 285—302, ISBN 9781612093994

Алгебраїчне допасовування функцій до точок спостережень Найчастіше підбирають функцію у формі .

Допасовування прямих і поліноміальних функцій до точок спостережень

Поліном першого ступеня

є прямою з кутовим коефіцієнтом . Пряма завжди може з'єднати будь-які дві точки, тому поліном першого ступеня точно підійде для проходження через будь-які дві точки з різними координатами .

Якщо підняти порядок рівняння до полінома другого ступеня, отримаємо:

Це дозволяє точно допасувати просту криву до трьох точок.

Якщо підняти порядок рівняння до полінома третього ступеня, отримаємо:

Це дозволяє точно допасувати криву до чотирьох точок.

Більш загально можна сказати, що рівняння третього ступеня точно задовольняє чотири обмеження. Кожне обмеження може бути точкою, кутом або кривиною (оберненою величиною радіуса стичного кола). Обмеження по куту та кривини зазвичай додають на кінцях кривої і в такому випадку їх називають кінцевими умовами. Ідентичні кінцеві умови часто використовують для забезпечення плавного переходу між поліноміальними кривими в межах одного сплайна. Можна також додавати обмеження вищого порядку, наприклад, «зміна швидкості зміни кривини». Це може бути корисним, наприклад, при проектуванні транспортних розв'язок (листків конюшини), щоб зрозуміти зміну сил, що діють на автомобіль (див. ривок), і встановити розумні обмеження швидкості.

Поліном першого ступеня також може точно відповідати одній точці та куту, а поліном третього ступеня — двом точкам, обмеженню по куту та кривині. Можливі й інші комбінації обмежень для цих та вищих поліноміальних рівнянь.

Якщо кількість обмежень більше ніж (де  — ступінь полінома), поліноміальна крива все одно може бути побудована через ці обмеження. Точне допасування до всіх обмежень не гарантоване (але можливе, наприклад, для полінома першого ступеня через три колінеарні точки). Зазвичай потрібен метод для оцінки наближення. Метод найменших квадратів — один зі способів порівняння відхилень.

Існують декілька причин використання наближеного підбору замість підвищення ступеня полінома:

Навіть якщо існує точне допасування, його може бути складно знайти. Залежно від алгоритму, може виникнути дивергентний випадок, коли точне допасування обчислити неможливо або це потребує надто багато часу. У таких випадках потрібне наближення. Іноді бажано усереднити сумнівні точки, замість того щоб спотворювати криву для точного проходження через них. Феномен Рунге: поліноми високого порядку можуть сильно коливатися. Якщо крива проходить через дві точки A і B, очікується, що вона пройде близько до середини A і B. Це не завжди відбувається для поліномів високого порядку; вони можуть мати дуже великі позитивні чи негативні величини. Для поліномів низького порядку крива більш ймовірно проходить через середину (для полінома першого ступеня — гарантовано). Поліноми низького порядку зазвичай є гладкими, тоді як криві поліномів високого порядку мають тенденцію бути «зубчастими». Щоб визначити це точніше, максимальна кількість точок перегину, можлива для поліноміальної кривої, дорівнює n−2, де n — порядок полінома. Точка перегину — це місце на кривій, де радіус переходить від позитивного до негативного. Можна також сказати, що це місце, де крива переходить від «тримання води» до «скидання води». Зверніть увагу, що лише можливо, що поліноми високого порядку будуть зубчастими; вони також можуть бути гладкими, проте цього гарантувати не можна, на відміну від поліномів низького порядку. Поліном 15-го ступеня може мати максимум тринадцять точок перегину, але також може мати одинадцять, дев'ять або будь-яке непарне число до однієї. (Поліноми парного порядку можуть мати будь-яку парну кількість точок перегину від n−2 до нуля.)

Порядок поліноміальної кривої, вищий за необхідний для точного проходження через точки, є небажаним з усіх причин, перерахованих раніше для поліномів високого порядку, а також створює ситуацію, коли існує нескінченна кількість рішень. Наприклад, поліном першого ступеня (пряма), обмежений лише однією точкою замість звичних двох, матиме нескінченну кількість рішень. Це породжує проблему того, як порівняти та вибрати одне єдине рішення, що може бути складним як для програмного забезпечення, так і для людини. Через це зазвичай найкраще обирати найнижчий можливий порядок полінома, який забезпечує точне проходження через усі обмеження, а якщо допустима наближена підгонка — можна обрати ще нижчий порядок.

Допасовування інших функцій до точок спостережень В окремих випадках можуть використовуватися й інші типи кривих, наприклад, тригонометричні функції (синус, косинус).

У спектроскопії дані можуть підганятися за допомогою гаусових, лоренцевих, фойгтових та подібних функцій.

У біології, екології, демографії, епідеміології та багатьох інших дисциплінах зростання популяцій, поширення інфекційних хвороб тощо можна моделювати за допомогою логістичної функції.

В агрономії інвертована логістична сигмоїдна функція (S-подібна крива) використовується для опису залежності між врожайністю та факторами росту. Синя крива на рисунку отримана шляхом сигмоїдної регресії даних, зібраних на сільськогосподарських угіддях. Видно, що спочатку, тобто при низькій солоності ґрунту, врожайність зменшується повільно зі зростанням солоності, а далі спад відбувається швидше.

Геометричне допасовування плоских кривих до точок даних Якщо неможливо задати функцію у вигляді , все одно можна спробувати допасувати плоску криву.

В окремих випадках можуть також використовуватися інші типи кривих, такі як конічні перерізи (дуги кола, еліпса, параболи та гіперболи) або тригонометричні функції (наприклад, синус і косинус). Наприклад, траєкторії об'єктів під дією сили тяжіння мають параболічну форму, якщо опором повітря знехтувати. Тому узгодження точок траєкторії з параболічною кривою є логічним. Припливи мають синусоїдальний характер, отже точки припливних даних слід узгоджувати із синусоїдою або сумою двох синусоїд з різними періодами, якщо враховуються впливи Місяця і Сонця.

Для параметричної кривої ефективним є підбір кожної її координати як окремої функції довжини дуги; за умови, що точки даних можна впорядкувати, може використовуватися хордна відстань.p.51 in Ahlberg & Nilson (1967) The theory of splines and their applications, Academic Press, 1967

Допасовування кола геометричним методом

КупCoope, I.D. (1993). «Circle fitting by linear and nonlinear least squares». Journal of Optimization Theory and Applications. 76 (2): 381—388. doi:10.1007/BF00939613. hdl:10092/11104. S2CID 59583785. розглядає задачу пошуку найкращого візуального наближення кола до набору двовимірних точок спостережень. Метод елегантно перетворює зазвичай нелінійну задачу на лінійну, яку можна розв'язати без використання ітераційних чисельних методів, і тому він значно швидший за попередні техніки.

Допасовування еліпса арифметичним методом Рівняння конічного перерізу (включно з еліпсами) має виглядRosin, Paul L. (1993). «A note on the least squares fitting of ellipses». Pattern Recogn. Lett. 14 (10): 799—808. Bibcode:1993PaReL..14..799R. doi:10.1016/0167-8655(93)90062-I.

для точок з декартовими координатами (x, y), що лежать на межі. Для набору розсіяних точок даних (xᵢ, yᵢ) та фіксованого еліпса праві частини цього рівняння вже не дорівнюють нулю. Один із підходів до апроксимації точок еліпсом полягає у знаходженні шести параметрів A–F так, щоб сума (квадратів) залишків правих частин була мінімізована. Це приводить до лінійної задачі методу найменших квадратів, яка по суті розв'язується шляхом знаходження власних векторів відповідної матриці 6×6, що містить суми змішаних степенів (xᵢ, yᵢ).

Апроксимація еліпса геометричним методом

Зазначена вище техніка узагальнюється на довільні еліпсиPaul Sheer, A software assistant for manual stereo photometrology, M.Sc. thesis, 1997 шляхом додавання нелінійного кроку, в результаті чого отримується метод, який є швидким і водночас забезпечує візуально привабливі еліпси довільної орієнтації та зміщення. Геометричне наближення мінімізує суму квадратів ортогональних відстаней від точок даних до межі еліпса. Подібний метод, що наближує ці ортогональні відстані, базується на метриці Сампсона.

Апроксимація поверхонь Зверніть увагу, що хоча це обговорення стосувалося двовимірних кривих, значна частина цієї логіки також поширюється на тривимірні поверхні, кожна ділянка яких визначається сіткою кривих у двох параметричних напрямах, зазвичай позначуваних u та v. Поверхня може складатися з однієї або кількох ділянок поверхні в кожному напрямі.

Програмне забезпечення