У чисельному аналізі зворотний метод Ейлера (або неявний метод Ейлера) є одним із найпростіших чисельних методів розв’язування звичайних диференціальних рівнянь. Він подібний до (прямого) методу Ейлера, але відрізняється тим, що є неявним методом. Зворотний метод Ейлера має похибку першого порядку за часом.

Опис

Розглянемо звичайне диференціальне рівняння з початковою умовою Тут функція та початкові дані і відомі; функція залежить від дійсної змінної і є невідомою. Чисельний метод породжує послідовність , де апроксимує , причому називається кроком.

Зворотний метод Ейлера обчислює наближення за формулою Це відрізняється від (прямого) методу Ейлера тим, що прямий метод використовує замість .

Зворотний метод Ейлера є неявним методом: нове наближення стоїть по обидва боки рівняння, тому метод потребує розв’язати алгебраїчне рівняння відносно . Для нестійких задач це можна зробити за допомогою методу простої ітерації: Якщо ця послідовність збігається (до заданої точності), то її границя приймається як нове наближення .

Альтернативно, алгебраїчне рівняння можна розв’язувати (модифікаціями) методу Ньютона — Рафсона.

Виведення

Інтегруючи диференціальне рівняння від до , отримуємо Тепер апроксимуємо інтеграл справа правим методом прямокутників: Нарешті, оскільки апроксимує , отримуємо формулу зворотного методу Ейлера.

Ті самі міркування приводять до (прямого) методу Ейлера, якщо замість правого застосувати лівий метод прямокутників.

Аналіз

Локальна похибка (похибка одного кроку) зворотного методу Ейлера дорівнює — у термінах нотації великого O. Похибка в певний момент часу також є . Це означає, що метод має перший порядок точності. Загалом метод із локальною похибкою називається методом k-го порядку.

Область абсолютної стійкості зворотного методу Ейлера — доповнення в комплексній площині до круга радіуса 1 з центром у точці 1. Ця область містить усю ліву півплощину, що робить метод придатним для розв’язування жорстких рівнянь. Насправді зворотний метод Ейлера є L-стійким.

Область дискретної стійкості системи, інтегрованої зворотним методом Ейлера, — це коло радіуса 0.5 з центром у точці (0.5, 0) на площині z.

Розширення та модифікації

Зворотний метод Ейлера є варіантом (прямого) методу Ейлера. Інші варіанти — напівнеявний метод Ейлера та експоненційний метод Ейлера.

Зворотний метод Ейлера можна розглядати як метод Рунге — Кутти з одним етапом, який описується таблицею Бутчера:

Метод також можна тлумачити як лінійний багатокроковий метод з одним кроком. Це перший метод у сімействі методів Адамса — Молтона та одночасно перший метод сімейства формул зворотного диференціювання.

Див. також

Метод Кранка — Ніколсона

Примітки

Джерела .