Пряме доведення — один з найпоширеніших методів доведення в математиці та логіці. Мета прямого доведення — довести істинність чи хибність деякого твердження шляхом послідовного використання встановлених фактів, таких як аксіоми, лемми та теореми, без використання додаткових припущень.Antonella Cupillari. The Nuts and Bolts of Proofs. Academic Press, 2001. Page 3. Щоб довести деяке твердження вигляду «Якщо , то », достатньо розглянути умови чи випадки, при яких твердження є істинним.

На відміну від прямого доведення, методи непрямого доведення можуть починатися з деяких гіпотетичних сценаріїв. Відповідно виконується усунення невизначеностей у кожному з розглянутих сценаріїв, поки не буде отримано безпосереднього висновку.

Наприклад, замість того, щоб напряму показати , доводиться контрапозиція (припускається заперечення і показується, що це призводить до заперечення ). Оскільки висловлювання та еквівалентні за принципом транспозиції (див. закон виключеного третього), доведено непрямо. До непрамях методів доведення відносять доведення від супротивного, зокрема доведення методом нескінченного спуску. Прямі методи доведення включають доведення вичерпуванням та доведення методом математичної індукції.

Історія та етимологія

Пряме доведення вважається найпростішою формою доведення. Слово «доведення» походить від латинського слова probare,New Shorter Oxford English Dictionary що означає «перевірити». Найдавніше використання доведень було знайдено у судових процесах. Зазвичай людина з владою, до прикладу дворянин, вважалася порядною, а доведення її правоти більше базувались на основі її авторитету та могутності, ніж на емпіричних свідченнях. З плином часу, математика та доведення почали переплітатись з практичними проблемами — наприклад єгиптяни та греки цікавились яким чином вимірювати землю та справедливо її ділити між собою.Krantz, Steven G. The History and Concept of Mathematical Proof. February 5, 2007. Дослідження стосувались геометрії та тригонометрії, зокрема трикутників та прямокутників. Це були фігури, які вирішували найбільше практичних питань, тому ранні геометричні концепції були зосереджені саме на цих формах. Зокрема, для побудови будівель та пірамід активно використовували трикутники та прямокутники. Ще однією фігурою, яка мала значний вплив на розвиток прямого доведення, є коло, яке було ключовою фігурою для проектування арен та баків з водою.

Найдавніша математика була в феноменологічній формі. Наприклад, якщо хтось зміг намалювати достовірне зоображення або надати переконливий опис, то це відповідало всім критеріям для того, щоб доведену справу можна було розглядати як математичний «факт». Іноді використовувались аргументи на основі аналогії чи навіть божих знаків. Думка про те, що математичні твердження можна довести, ще не була сформована. Тому на це можна дивитись як на певне зародження концепції доведення, хоча їх не можна вважати фактичним доведенням.

Доведення, у сучасному розумінні, виникло з одного простого питання — «Що таке доведення?». Традиційно це є інформація, яка переконує когось, що немає сумніву в тому, що твердження є математично істинним. Природньо, можна припустити, що найкращим способом довести істинність деякого твердження , було б використати порівняння з деяким твердженням , яке вже було доведено як істинне. Так була створена наступна концепція — виведення нових тверджень чітко спирається на вже доведені твердження.

Приклади

Сума двох парних цілих чисел є парним цілим числом

Розглянемо деякі парні цілі числа та . Оскільки вони парні, запишемо їх у вигляді

для та відповідно. Тоді їх суму можна записати як

, де , та — цілі числа.

Звідси випливає, що сума має множник 2, тому є парним числом. Отже, сума будь-яких двох парних цілих чисел є парною.

Теорема Піфагора

Розглянемо квадрат та чотири прямокутні трикутники, що разом утворюють більший квадрат. Кожен із чотирьох трикутників має сторони , та гіпотенузу відповідно. Площа квадрата визначається як квадрат довжини його сторін. В данному випадку площа великого квадрата визначається як (див. рисунок). Проте площа великого квадрата також може бути представлена як сума площ фігур, що його утворюють. У даному випадку, це буде сума площ чотирьох прямокутних трикутників та меншого квадрата, що розташований посередині.Krantz, Steven G. The Proof is the Pudding. Springer, 2010. Page 43.

Площа великого квадрата дорівнює .

Також площа прямокутного трикутника обраховується як .

Площа великого квадрата дорівнює сумі площ трикутників та площі меншого квадрата. Таким чином площа великого квадрата дорівнює

Так як вони рівні, маємо

Після перетворень отримаємо

.

Приберемо , що з'являється з обох боків рівності. Отримаємо формулу співвідношення між сторонами прямокутного трикутника

Отже, теорема Піфагора доведена.

Квадрат непарного числа також непарний

За означенням, якщо — непарне ціле число, його можна записати як

для деякого цілого . Таким чином,

Так як ціле, є непарним числом.

Див. також Доведення Математична індукція Доведення вичерпуванням Теорема Піфагора Історія математики

Примітки

Джерела

(Ch. 1.)

Посилання

Direct Proof from Larry W. Cusick's How To Write Proofs. Direct Proofs from Patrick Keef and David Guichard's Introduction to Higher Mathematics. Direct Proof section of Richard Hammack's Book of Proof.