Рівняння сьомого степеня в алгебрі — це рівняння вигляду
де .
Функція сьомого степеня — це функція вигляду
де . Іншими словами, це многочлен сьомого степеня. Якщо , то f є многочленом шостого степеня (), многочленом п'ятого степеня () тощо.
Рівняння отримують із функції, поклавши .
Коефіцієнти можуть бути цілими, раціональними, дійсними, комплексними числами або, загальніше, елементами будь-якого поля або кільця.
Оскільки їхній степінь непарний, графіки функцій сьомого степеня подібні до графіків функцій п'ятого степеня і кубічних функцій за винятком того, що вони можуть мати додаткові локальні максимуми та мінімуми (до трьох максимумів і трьох мінімумів). Похідна функцій сьомого степеня є функцією шостого степеня, за винятком випадків, коли характеристика кільця, що містить коефіцієнти, кратна 7.
Розв'язувані рівняння сьомого степеня Деякі рівняння сьомого степеня можна розв'язати в радикалах шляхом факторизації, але інші — ні. Еварист Галуа розробив методи визначення того, чи можна дане рівняння розв'язати в радикалах; ці методи започаткували теорію Галуа. Як приклад нерозкладного, але розв'язуваного рівняння сьомого степеня, можна узагальнити розв'язуване рівняння п'ятого степеня де Муавра:
де допоміжне рівняння має вигляд .
Це означає, що рівняння сьомого степеня отримується шляхом виключення та з системи , та .
Звідси випливає, що сім коренів рівняння сьомого степеня задаються формулою
де — будь-який із семи коренів сьомого степеня з одиниці. Група Галуа цього рівняння сьомого степеня — максимальна розв'язувана група порядку 42. Це легко узагальнюється на будь-які інші степені , не обов'язково прості.
Інша розв'язувана сім'я рівнянь має вигляд
елементи якої з'являються в базі даних числових полів Клунера. Її дискримінант дорівнює
Група Галуа цих рівнянь сьомого степеня — діедрична група порядку 14.
Загальне рівнянь сьомого степеня можна розв'язати за допомогою знакозмінних або симетричних груп Галуа або . Для розв'язування таких рівнянь потрібні гіпереліптичні функції та відповідні тета-функції роду 3. Однак у XIX столітті ці рівняння спеціально не вивчали, оскільки розв'язування рівнянь шостого степеня уже перебувало на межі обчислювальних можливостей без комп'ютерів.
Рівняння сьомого степеня є найменшим порядком, для якого не є очевидним, що їхні розв'язки можна отримати композицією неперервних функцій. Тринадцята проблема Гільберта полягала в гіпотезі, що в загальному випадку для рівнянь сьомого степеня це неможливо. Володимир Арнольд у 1957 році розв'язав цю проблему, показавши, що це завжди можливо. Втім, сам Арнольд вважав справжньою проблемою Гільберта питання, чи можна для рівнянь сьомого степеня отримати розв'язки шляхом накладання алгебраїчних функцій двох змінних. Станом на 2023 рік це питання залишається відкритим.
Групи Галуа
Для рівнянь сьомого степеня існує сім можливих груп Галуаhttp://galoisdb.math.upb.de/groups?deg=7 A Database for Number Fields: Рівняння сьомого степеня, розв'язувані в радикалах, мають групу Галуа, яка є або циклічною групою порядку 7, або діедричною групою порядку 14, або порядку 21 чи 42. Група Галуа (порядку 168) утворюється перестановками семи вершин, що зберігають сім «прямих» у площині Фано. Рівняння сьомого степеня з цією групою Галуа потребують для свого розв'язування еліптичних, а не гіпереліптичних функцій. В інших випадках група Галуа рівняння сьомого степеня є або знакозмінною групою порядку або симетричною групою порядку
Рівняння сьомого степеня для квадрата площі циклічного п'ятикутника або шестикутника
Квадрат площі циклічного п'ятикутника є коренем рівняння сьомого степеня, коефіцієнти якого є симетричними функціями сторін цього п'ятикутникаWeisstein, Eric W. «Cyclic Pentagon.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. . Те саме стосується квадрата площі циклічного шестикутникаWeisstein, Eric W. «Cyclic Hexagon.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. .
Див. також Кубічне рівняння
Рівняння п'ятого степеня Рівняння шостого степеня
Примітки