Формула Фаульгабера — це математична формула для обчислення суми -тих степенів перших додатних цілих чисел у вигляді многочлена від ; вона носить ім'я німецького математика XVII століття . У сучасних позначеннях формула Фаульгабера має вигляд
Тут, — біноміальний коефіцієнт «число комбінацій із по », а — числа Бернуллі за домовленістю .
Результат: формула Фаульгабера
Формула Фаульгабера описує подання суми -тих степенів перших додатних цілих чисел
як многочлена степеня від .
Перші кілька випадків добре відомі. Для маємо
Для , отримуємо трикутні числа
Для , маємо квадратні пірамідні числа
Коефіцієнти формули Фаульгабера в загальному випадку містять числа Бернуллі . Вони починаються так
Тут використано домовленість . Числа Бернуллі мають різні означення (див. Числа Бернуллі), зокрема, їх можна визначити як коефіцієнти експоненціальної твірної функції
Отже, формула Фаульгабера має вигляд
де, — числа Бернуллі, а — біноміальний коефіцієнт «число комбінацій із по ».
Приклади
Отже, наприклад, для ,
Перші сім прикладів формули Фаульгабера такі
Історія
Давній період Історія цієї проблеми бере початок ще в античності, а її окремі випадки виникали як розв'язання суміжних питань. Випадок історично збігається із задачею обчислення суми перших членів арифметичної прогресії. У хронологічному порядку ранні відкриття включають: , формулу, відому піфагорійській школі через її зв'язок із трикутними числами. результат, який показує, що сума перших додатних непарних чисел є повним квадратом. Імовірно, ця формула також була відома піфагорійцям, які, будуючи фігурні числа, усвідомили, що -го повного квадрата є саме -м непарним числом. формулу для обчислення суми квадратів перших додатних цілих чисел, як показано в праці Архімеда . формулу для обчислення суми кубів перших додатних цілих чисел, відкриту як наслідок теореми .
Середній період З часом багато інших математиків зацікавилися цією проблемою і зробили різноманітні внески в її розв'язання. Серед них — Аріабгата I, , Ібн аль-Гайсам, Томас Герріот, , П'єр Ферма та Блез Паскаль, які рекурсивно розв'язували задачу про суму степенів послідовних цілих чисел, розглядаючи тотожність, що дозволяла отримати многочлен степеня , вже знаючи попередні.
Формулу Фаульгабера також називають формулою Бернуллі. Сам Фаульгабер не знав властивостей коефіцієнтів, відкритих пізніше Бернуллі. Натомість він знав щонайменше перші 17 випадків, а також існування многочленів Фаульгабера для непарних степенів, описаних нижче У статті arxiv.org є друкарська помилка у формулі для суми 11-х степенів, яку було виправлено в друкованій версії. Correct version. .
У 1713 році Якоб Бернуллі опублікував під назвою Summae Potestatum вираз для суми -тих степенів перших цілих чисел у вигляді многочлена степеня від , з коефіцієнтами, що містять числа , які нині називають числами Бернуллі:
Якщо також ввести перші два числа Бернуллі (чого сам Бернуллі не робив), попередня формула набуває вигляду
де використовується число Бернуллі другого роду, для якого , або
де використовується число Бернуллі першого роду, для якого
Строге доведення цих формул і твердження Фаульгабера про те, що такі формули існують для всіх непарних степенів, з'явилося лише у , через два століття. Якобі скористався розвитком математичного аналізу, зокрема розкладом показникової функції, в нескінченний ряд, що породжує числа Бернуллі.
Сучасний період У 1982 році опублікував статтю, у якій показав, що тотожність Паскаля можна виразити за допомогою трикутних матриць, які містять модифікований трикутник Паскаля:
Першим елементом вектора сум є а не через перший доданок — невизначеність вигляду , якій інакше слід було б призначити значення 1.
Цей приклад обмежений вибором матриці п'ятого порядку, але сам метод легко узагальнюється на вищі порядки. Записавши рівняння у вигляді і домноживши обидві його частини зліва на , отримуємо , таким чином отримуючи коефіцієнти полінома без безпосереднього використання чисел Бернуллі. Розвиваючи роботу Едвардса, деякі автори, які досліджували задачу сум степенів, пішли матричним шляхом, використовуючи такі корисні інструменти, як вектор Вандермонда. Інші дослідники продовжують працювати в межах традиційного аналітичного підходу, узагальнюючи задачу про суму послідовних цілих чисел на довільну геометричну прогресію.
Поліноми Фаульгабера
Термін поліноми Фаульгабера використовується деякими авторами для позначення іншої , пов'язаної з наведеною вище.
Запишемо
Фаульгабер зауважив, що якщо — непарне число, то є поліноміальною функцією від .
Для очевидно, що
Для результат
відомий як .
Далі маємо
(див. , , , , ).
Більш загально,
Деякі автори називають поліноми від , що стоять у правих частинах цих тотожностей, поліномами Фаульгабера. Ці поліноми діляться на оскільки число Бернуллі дорівнює 0 для всіх непарних .
Навпаки, для зручності поклавши , маємо
і загалом
Фаульгабер також знав, що якщо сума для непарного степеня має вигляд
то сума для безпосередньо меншого парного степеня дорівнює
Зауважимо, що поліном у дужках є похідною попереднього полінома за .
Оскільки , ці формули показують, що для непарного степеня (більшого за 1), сума є поліномом від , який має множники та , тоді як для парного степеня відповідний поліном має множники , і .
Подання добутків степеневих сум як лінійних комбінацій степеневих сум
Добутки двох (а отже, за ітерацією — і кількох) степеневих сум можна записати як лінійні комбінації степеневих сум або лише з парними степенями, або лише з непарними степенями — залежно від повного степеня добутку як многочлена від , наприклад . Суми коефіцієнтів у лівій і правій частинах мають збігатися, що випливає з підстановки . Деякі загальні формули мають вигляд:
Останню формулу можна використовувати для рекурсивного обчислення поліномів Фаульгабера. Зауважимо, що в другій формулі для парного доданок, який відповідає відрізняється від інших, тоді як для непарного , цей доданок зникає, оскільки . Бірдон опублікував формули для степенів , зокрема у статті 1996 року, де показав, що цілі степені можна подати як лінійну суму членів послідовності :
Перші кілька відповідних тотожностей мають вигляд:
.
Хоча відомі й інші окремі випадки степенів — зокрема та — явної загальної формули для при довільних додатних цілих і досі не було отримано. У статті 2019 року Дербі довів, що
.
Цей вираз можна обчислювати в матричній формі, як описано нижче. Випадок відтворює формулу Бірдона для і підтверджує наведені вище результати для та або . Результати для вищих степенів включають:
.
Подальше узагальнення можливе, якщо розглядати довільний добуток степеневих сум , де — додатні цілі числа. Для зручності введемо , і нехай — коефіцієнти розкладу Маклорена для , тобто . Тоді можна показати, що
.
Зокрема, для добутку коефіцієнти легко відновити:
.
Поєднуючи це з попереднім, отримуємо
що є індексним переформулюванням формули Бірдона. У загальнішому вигляді маємо
.
Порівняно з підходом Дербі, ця формула вимагає лише знання коефіцієнтів многочлена .
Матрична форма
Формулу Фаульгабера також можна записати у вигляді, що використовує множення матриць.
Розглянемо перші сім прикладів
Записуючи ці многочлени як добуток матриць, отримуємо
де
Несподівано, обернення матриці коефіцієнтів многочленів дає дещо знайоме:
В оберненій матриці можна впізнати трикутник Паскаля — без останнього елемента в кожному рядку та з почерговою зміною знаків.
Нехай — матриця, отримана з шляхом зміни знаків елементів на непарних діагоналях, тобто заміною на , нехай — матриця, отримана з аналогічним перетворенням, тоді
та
Також
Це випливає з того, що очевидно, що , а отже, многочлени степеня вигляду після віднімання мономіальної різниці перетворюються на .
Це справедливо для будь-якого порядку, тобто для кожного додатного цілого маємо та Таким чином, коефіцієнти многочленів сум степенів послідовних цілих чисел можна отримати без звернення до чисел Бернуллі, просто обертаючи матрицю, яку легко побудувати з трикутника Паскаля...
Варіації
Замінивши на , знаходимо альтернативний вираз: Віднімаючи від обох частин початкової формули та збільшуючи на , отримуємо де можна інтерпретувати як «від'ємні» числа Бернуллі з . Ми також можемо розкласти за многочленами Бернуллі й отримати звідки випливає Оскільки для всіх непарних , множник можна опустити, коли . Цей вираз також можна подати через числа Стірлінга другого роду та спадні факторіали, 1st ed. (1989), p. 275.: Це випливає з означення чисел Стірлінга другого роду як подання одночленів через спадні факторіали та з поведінки спадних факторіалів при .
Інтерпретуючи числа Стірлінга другого роду як кількість розбиттів множини на частин, цю тотожність можна безпосередньо , оскільки обидві частини рахують кількість функцій із максимальним значенням . Індекс підсумовування в лівій частині відповідає , тоді як індекс у правій частині відповідає кількості елементів у образі функції f. Існує також подібний (але дещо простіший) вираз: використовуючи ідею телескопічної суми та біноміальну теорему, одержуємо тотожність Паскаля:
Зокрема, з цього випливають наведені нижче приклади — наприклад, поклавши дістаємо перший приклад. Аналогічно маємо
Узагальнений вираз за участю чисел Ейлера має вигляд . Формулу Фаульгабера було узагальнено Ґо та Цзенґом до -аналога.
Зв'язок із дзета-функцією Рімана
Використовуючи тотожність , можна записати
Якщо розглянути твірну функцію у границі великих при , то отримаємо
Евристично це підказує, що
Цей результат узгоджується зі значенням дзета-функції Рімана для від'ємних цілих після відповідного аналітичного продовження .
Формулу Фаульгабера також можна записати через дзета-функцію Гурвіца:
Умбральна форма
В числа Бернуллі , , , … розглядають так, ніби індекс у насправді є показником степеня, тобто так, ніби числа Бернуллі є степенями деякого об'єкта B.
У такій нотації формулу Фаульгабера можна записати у вигляді
Тут вираз у правій частині слід розуміти як такий, що після розкладання дає члени , які потім інтерпретуються як числа Бернуллі. Зокрема, застосовуючи біноміальну теорему, маємо
Виведення формули Фаульгабера за допомогою умбральної форми наведено в книзі The Book of Numbers'' Джона Гортона Конвея та Річарда К. Ґая.
Класично цю умбральну форму розглядали як зручну нотаційну умовність. Натомість у сучасному умбральному численні їй надають строгого математичного обґрунтування. Розглядають лінійний функціонал на векторному просторі векторному просторі заданий правилом Тоді можна сказати
Примітки
Посилання
Дуже рідкісна книга, але Кнут помістив фотокопію до бібліотеки Стенфордського університету; шифр зберігання QA154.8 F3 1631a f MATH. () (Переможець Lester R. Ford Award)
Наочний доказ суми квадратів та кубів.