Голігон, або в загальнішому значенні серійний ізогон із кутом повороту 90° — це будь-який многокутник з усіма прямими кутами (), сторони якого мають послідовні цілі довжини. Голігони були винайдені й названі та популяризовані в колонці Scientific American 1990 року (див. Smith). Варіації означення голігонів передбачають дозвіл на перетин сторін, використання послідовностей довжин сторін, відмінних від послідовних цілих чисел, а також розгляд кутів повороту, відмінних від 90°.
Властивості У будь-якому голігоні всі горизонтальні сторони мають однакову парність між собою, так само як і всі вертикальні сторони. Тому кількість сторін n має допускати розв'язання системи рівнянь
Звідси випливає, що n має бути кратним 8. Наприклад, на рисунку маємо та .
Кількість голігонів для заданого допустимого значення n можна ефективно обчислювати за допомогою твірних функцій (). Для допустимих значень n кількість голігонів дорівнює 4, 112, 8432, 909288, тощо. Визначення кількості розв'язків, що відповідають голігонам без самоперетинів, видається значно складнішим.
Існує єдиний восьмисторонній голігон (показаний на рисунку); він може замощувати площину поворотами на 180° згідно з критерієм Конвея.
Приклади
Узагальнення Серійносторонній ізогон порядку n — це замкнений многокутник з постійним кутом у кожній вершині та послідовними сторонами довжин 1, 2, …, n одиниць. Многокутник може бути самоперетинним. Голігони є частковим випадком серійносторонніх ізогонів.
— це подібна конструкція, що позначається як nθi1,i2,…,ik, у якій послідовно використовуються довжини 1,2,3,…,n з внутрішніми кутами θ, з можливістю повторення, доки фігура не замкнеться, повернувшись до початкової вершини. Верхні індекси i1,i2,…,ik перелічують ребра, які повертають у протилежних напрямах.
Голіедр Тривимірне узагальнення голігона називають голіедром () — це замкнена однозв'язна об'ємна фігура, обмежена гранями кубічної ґратки, площі граней якої утворюють послідовність 1, 2, …, n для деякого цілого числа n. Вперше це поняття було представлене в питанні на ресурсі MathOverflow«Can we find lattice polyhedra with faces of area 1,2,3,…?»Golygons and golyhedra.
На сьогодні знайдено голіедри зі значеннями n, що дорівнюють 32, 15, 12, та 11 (мінімально можливе значення)Golyhedron update.
Примітки
Посилання Golygons в Інтерактивній енциклопедії цілочислових послідовностей