Теореми Пенроуза — Гокінга про сингулярність — теореми в загальній теорії відносності, які намагаються відповісти на питання, коли гравітація породжує сингулярності.
Сингулярність Сингулярність у розв'язках рівнянь поля Ейнштейна — одна з двох речей:
ситуація, коли матерія змушена стискатися до точки (просторова сингулярність) ситуація, коли певні світлові промені походять з ділянки з нескінченною кривиною (часова сингулярність)
Просторово-подібні сингулярності є особливістю необертових незаряджених чорних дір, тоді як часові сингулярності — це ті, які виникають у заряджених або обертових точних розв'язках чорних дір. Обидві вони мають властивість геодезичної неповноти, в якій або деякий світловий шлях, або деякий шлях частинок не можна розширити за межі певного власного часу або афінного параметра (афінний параметр є нульовим аналогом власного часу).
Теорема Пенроуза гарантує, що деяка геодезична неповнота виникає всередині кожної чорної діри щоразу, коли матерія задовольняє розумні енергетичні умови. Енергетична умова, необхідна для теореми про сингулярність чорної діри, є слабкою: вона каже, що світлові промені завжди фокусуються разом гравітацією, ніколи не розходяться, і це справедливе щоразу, коли енергія матерії невід'ємна.
Теорема Гокінга про сингулярність стосується всього Всесвіту і діє у зворотному напрямку в часі: вона гарантує, що (класичний) великий вибух має нескінченну густину. Ця теорема більш обмежена і справедлива тільки тоді, коли матерія підпорядковується сильнішій енергетичній умові, званій домінуючою енергетичною умовою, за якої енергія більша від тиску. Цій умові підпорядковується вся звичайна речовина, за винятком вакуумного математичного очікування скалярного поля. Під час інфляції Всесвіт порушує домінуючу енергетичну умову, і на підставі цього спочатку стверджували (наприклад, Старобінський), що інфляційні космології могли б уникнути початкової сингулярності Великого вибуху. Проте відтоді показано, що інфляційні космології все ще є неповними в минулому, і тому для опису минулої межі ділянки простору-часу, що роздувається, потрібна фізика, відмінна від інфляції.
Досі залишається відкритим питання, чи передбачає (класична) загальна теорія відносності часові сингулярності всередині реалістичних заряджених або обертових чорних дір, чи ж вони є артефактами розв'язків із високою симетрією і перетворюються на просторові сингулярності при додаванні збурень.
Інтерпретації та значення У загальній теорії відносності сингулярність — це місце, куди об'єкти або світлові промені можуть потрапити за скінченний час, коли кривина стає нескінченною, або простір-час перестає бути многовидом. Сингулярності можна знайти у всіх просторах-часах чорних дір, метриці Шварцшильда, метриці Райснера — Нордстрема, метриці Керра та метриці Керра — Ньюмена, а також у всіх космологічних розв'язках, які не мають скалярної енергії поля чи космологічної сталої.
Неможливо передбачити, що може «вийти» з сингулярності великого вибуху в нашому минулому, або що станеться з спостерігачем, який «впаде» в сингулярність чорної діри в майбутньому, тому вони вимагають модифікації фізичних законів. До Пенроуза вважалося, що сингулярності формуються лише в надуманих ситуаціях. Наприклад, при колапсі зірки з утворенням чорної діри, якщо зірка обертається і, отже, має деякий кутовий момент, можливо, відцентрова сила частково протидіє гравітації і утримує від формування сингулярності. Теореми сингулярності доводять, що цього не може бути, що сингулярність завжди утворюється, щойно утворюється горизонт подій.
Наприклад, при колапсі зорі, оскільки в загальній теорії відносності вся речовина та енергія є джерелом гравітаційного тяжіння, додатковий кутовий момент тільки сильніше стягує зірку, коли вона стискається: частина поза горизонтом подій зрештою осідає в чорну діру Керра (див. теорему про відсутність волосся). Частина всередині горизонту подій обов'язково має сингулярність. Доведення цього є конструктивним, воно показує, що сингулярність можна знайти, слідуючи за світловими променями з поверхні, розташованої безпосередньо всередині горизонту. Але доведення не каже, який тип сингулярності виникає: просторовий, часовий, орбівид, стрибкоподібний розрив у метриці. Воно тільки гарантує, що якщо йти вздовж часоподібних геодезичних у майбутнє, то неможливо, щоб межа ділянки, яку вони утворюють, була згенерована нульовими геодезичними з поверхні. Це означає, що межа повинна або виникати нізвідки, або все майбутнє закінчується на певній скінченній віддалі.
Теореми сингулярності розкривають цікаву «філософську» особливість загальної теорії відносності. Оскільки загальна теорія відносності передбачає неминуче виникнення сингулярності, ця теорія не є повною без уточнення того, що відбувається з матерією, яка потрапляє в сингулярність. Загальну теорію відносності можна розширити до єдиної теорії поля, таку як система Ейнштейна — Максвелла — Дірака, де такі сингулярності відсутні.
Коротко про теореми У математиці існує глибокий зв'язок між кривиною многовиду та його топологією. Теорема Бонне — Маєрса стверджує, що повний ріманів многовид, що має кривину Річчі скрізь більшу від деякої додатної сталої, має бути компактом. Умова додатної кривини Річчі зручно сформулювати так: для кожної геодезичної існує поблизу спочатку паралельна геодезична, яка при продовженні вигнеться до неї, і ці дві лінії перетнуться на деякій скінченній довжині.
Коли дві сусідні паралельні геодезичні перетинаються, продовження будь-якої з них не є найкоротшим шляхом між кінцевими точками. Причина полягає в тому, що дві паралельні геодезичні траєкторії обов'язково перетинаються після продовження однакової довжини, і якщо слідувати однією траєкторією до перетину, а потім іншою, ми з'єднуємо кінцеві точки негеодезичною траєкторією однакової довжини. Це означає, що для того, щоб геодезична була найкоротшим шляхом, вона ніколи не повинна перетинатися із сусідніми паралельними геодезичними.
Починаючи з невеликої сфери і посилаючи паралельні геодезичні від межі, припускаючи, що многовид має кривину Річчі, обмежену знизу додатною сталою, жодна з геодезичних ліній не є найкоротшим шляхом через деякий час, оскільки всі вони стикаються з сусідньою. Це означає, що після деякого розширення досягнуто всіх потенційно нових точок. Якщо всі точки у зв'язному многовиді лежать на скінченній геодезичній відстані від малої сфери, то многовид має бути компактним.
Аналогічно міркував Пенроуз і в теорії відносності. Якщо нульові геодезичні лінії, траєкторії світлових променів ідуть у майбутнє, то генеруються точки в майбутньому ділянки. Якщо точка лежить на межі меж ділянки, то її можна досягти тільки рухаючись зі швидкістю світла, не повільніше, тому нульова геодезична включає всю межу правильного майбутнього ділянки. Коли нульові геодезичні перетинаються, вони більше не лежать на межі майбутнього, вони лежать усередині майбутнього. Отже, якщо всі нульові геодезичні стикаються, то немає ніякої межі для майбутнього.
В теорії відносності кривина Річчі, яка визначає колізійні властивості геодезичних, визначається тензором енергії, а його проєкція на світлові промені дорівнює нульовій проєкції тензора енергії-імпульсу і завжди невід'ємна. Це означає, що об'єм конгруенції паралельних нульових геодезичних, щойно він почне зменшуватися, досягне нуля за скінченний час. Щойно обсяг стане рівним нулю, відбувається колапс у певному напрямі, тому кожна геодезична перетинає деякого сусіда.
Пенроуз дійшов висновку: коли існує сфера, де всі вихідні (і вхідні) промені світла спочатку сходяться, межа майбутнього цієї області закінчиться після скінченного розширення, оскільки всі нульові геодезичні сходитимуться. Це важливо, оскільки вихідні світлові промені для будь-якої сфери всередині горизонту чорної діри сходяться, тому межа майбутнього цієї ділянки є або компактною, або виникає з нізвідки. Майбутнє внутрішнього простору або закінчується після скінченного розширення, або має межу, яка зрештою породжується новими світловими променями, яких не можна простежити до початкової сфери.
Природа сингулярності Теореми про сингулярність використовують поняття геодезичної неповноти як заміну наявності нескінченних кривин. Геодезична неповнота — це уявлення про те, що існують геодезичні траєкторії спостерігачів у просторі-часі, які можна продовжити тільки на скінченний час, виміряний спостерігачем, який подорожує вздовж однієї з них. Імовірно, наприкінці геодезичної спостерігач потрапляє в сингулярність або стикається з якоюсь іншою патологією, за якої порушуються закони загальної теорії відносності.
Припущення теореми Зазвичай теорема про сингулярність має три складові:
енергетичний стан матерії, умова глобальної структури простору-часу, гравітація досить сильна (десь), щоб захопити ділянку.
Існують різні можливості для кожної складової, і кожна з них приводить до різних теорем сингулярності.
Використовувані засоби Ключовим засобом, використовуваним при формулюванні та доведенні теорем сингулярності, є рівняння Райчаудурі, яке описує дивергенцію конгруенції (родини) геодезичних. Визначається дивергенція конгруенції як похідна від логарифму визначника об'єму конгруенції. Рівняння Райчаудурі має вигляд:
де — тензор зсуву конгруенції, — скаляр Райчаудурі (див. ). Ключовий момент полягає в тому, що буде невід'ємним за умови, що виконуються рівняння поля Ейнштейна та
виконується умова нульової енергії, і конгруенція геодезичних дорівнює нулю, або сильна енергетична умова зберігається, і конгруенція геодезичних подібна до часу.
Коли вони виконуються, дивергенція стає нескінченною за деякого скінченного значення афінного параметра. Таким чином, усі геодезичні, що виходять із точки, зрештою знову сходяться через скінченний час, за умови дотримання відповідної енергетичної умови -результат відомий як теорема фокусування.
Це стосується сингулярностей завдяки такому аргументу:
Нехай є глобально гіперболічний простір-час і дві точки і , які можуть бути пов'язані часоподібною або нульовою кривою. Тоді існує геодезична максимальної довжини, що з'єднує і . Позначимо цю геодезичну . Геодезична може змінитися на довшу криву, якщо інша геодезична з перетинає в іншій точці, яку називають спряженою точкою. З теореми фокусування ми знаємо, що всі геодезичні з мають спряжені точки за кінцевих значень афінного параметра. Зокрема це справедливе для геодезичної максимальної довжини. Але це суперечність, тому можна зробити висновок, що простір-час є геодезично неповним.
У загальній теорії відносності існує кілька версій теореми Пенроуза — Гокінга про сингулярність. Більшість версій стверджують, грубо кажучи, що якщо є і густина енергії невід'ємна, то існують геодезичні скінченної довжини, які не можна подовжити.
Ці теореми, строго кажучи, доводять, що існує принаймні одна непросторова геодезична, яку тільки скінченно можна поширити в минуле, але є випадки, коли умови цих теорем отримують так, що всі минулі напрямлені просторово-часові траєкторії закінчуються в сингулярності.
Версії Є багато версій. Нульова версія:
Припустимо:
Виконується умова нульової енергії. Маємо некомпактну зв'язну . Маємо замкнену .
Тоді ми маємо або нульову геодезичну неповноту, або замкнені часоподібні криві. Начерк доведення: доведення від супротивного. Межа майбутнього , генерується нульовими геодезичними відрізками, що беруть початок у дотичними векторами, ортогональними до неї. Як пасткова нульова поверхня, за нульовим рівнянням Райчаудурі обидва сімейства нульових променів, що виходять з , зіткнуться з каустиками. (Сама каустика не є проблемою. Наприклад, межею майбутнього двох просторово розділених точок є об'єднання двох майбутніх світлових конусів із видаленими внутрішніми частинами перетину. Каустики виникають там, де перетинаються світлові конуси, але жодної сингулярності там немає.)