Усічення (; мн. frusta або frustums) в геометрії — це частина тривимірного тіла (зазвичай піраміди або конуса), обмежена його основою та січною площиною, що паралельна цій основі. У випадку піраміди основи усічення є багатокутниками, а бічні грані — трапеціями. Пряме усічення — це пряма піраміда або прямий конус, усічені площиною, перпендикулярною до їхньої осі; в іншому разі усічення є похилим.
У зрізаному конусі або зрізаній піраміді, площина усічення обов'язково паралельна до основи конуса — на відміну від усічення.
Якщо всі бічні ребра мають однакову довжину, то таке усічення стає призмою (можливо, похилою та/або з неправильними основами).
Елементи, окремі випадки та пов'язані поняття Вісь усічення збігається з віссю початкового конуса або піраміди. Усічення є круговим, якщо його основи — кола; воно є прямим, якщо вісь перпендикулярна до обох основ, і похилим — в іншому випадку.
Висота усічення — це відстань перпендикуляра між площинами двох основ.
Конуси і піраміди можна розглядати як вироджені випадки усічень, коли січна площина проходить через вершину (тоді відповідна основа зводиться до точки). Пірамідальні усічення становлять підклас призматоїдів.
Два усічення з двома конгруентними основами, з'єднані цими основами, утворюють .
Формули
Об'єм Формулу для об'єму усіченої квадратної піраміди було введено ще в математиці Стародавнього Єгипту — у так званому Московському математичному папірусі, датованому XIII династією ():
де і — довжини сторін нижньої та верхньої основ відповідно, а — висота.
Єгиптяни знали правильну формулу для об'єму такої усіченої квадратної піраміди, проте в Московському папірусі не подано її доведення.
Об'єм конічного або пірамідального усічення дорівнює об'єму тіла до відсікання його «вершини» мінус об'єм цієї «вершини»:
де і — площі нижньої та верхньої основ, а і — перпендикулярні відстані від вершини до площин нижньої та верхньої основ.
Беручи до уваги, що
формулу для об'єму можна подати як третину добутку цієї пропорційності і різниці кубів висот та :
Скориставшись тотожністю , отримуємо:
де — висота усічення.
Розкриваючи та підставляючи його означення, одержуємо середнє за Героном площ і :
отже, альтернативна формула для об'єму має вигляд::
Герон Александрійський відомий тим, що вивів цю формулу і при цьому зіткнувся з уявною одиницею: уявною одиницеюNahin, Paul. An Imaginary Tale: The story of . Princeton University Press. 1998.Зокрема: Об'єм усіченого кругового конуса:
де і — радіуси нижньої та верхньої основ.
Об'єм усічення піраміди з правильними -кутними основами:
де і — довжини сторін нижньої та верхньої основ.
Площа поверхні
Для прямого кругового конічного усічення похила висота дорівнює
бічна поверхня має площу:
а загальна площа поверхні дорівнює
де r1 і r2 — відповідно радіуси нижньої та верхньої основ.
Приклади На зворотному боці (реверсі) однодоларової банкноти США, зображено пірамідальне усічення — елемент зворотного боку Великої печатки Сполучених Штатів, увінчаний Всевидячим оком. Зикурати, східчасті піраміди та деякі давні кургани корінних народів Північної Америки також утворюють усічення однієї або кількох пірамід, до яких додано інші елементи, зокрема сходи. Китайські піраміди. Джон-Генкок-центр у Чикаго, Іллінойс є усіченням, основи якого мають прямокутну форму. Монумент Вашингтона — це вузьке пірамідальне усічення з квадратною основою, увінчане малою пірамідою. Піраміда огляду у тривимірній комп'ютерній графіці — це корисне поле зору віртуальної фото- чи відеокамери, змодельоване у формі усіченої піраміди. В англійському перекладі збірки оповідань Станіслава Лема Кіберіада, у вірші Кохання та тензорна алгебра, стверджується, що «кожне усічення прагне стати конусом». Відра та типові абажури є повсякденними прикладами усічених конусів. Склянки для напоїв та деякі космічні капсули також є подібними прикладами. — дерев'яна споруда в Литві. сир Валансе Цукерки Карамельний пудинг або флан
Див. також Кульовий шар
Коментарі
Примітки
Посилання
Виведення формули об'єму усічень піраміди та конуса (Mathalino.com)
Паперові моделі усічень (усічені піраміди) Паперова модель усічення (усічений конус) Проєктування паперових моделей конічних усічень (усічених конусів)