Рівняння Клеро — нелінійне звичайне диференціальне рівняння першого порядку виду:
де — неперервно-диференційована. Воно лінійне по та . Його названо на честь французького математика Алексі Клод Клеро, який запровадив його в 1734 році. Це окремий випадок диференціального рівняння Лагранжа.
Розв'язок
Щоб розв'язати рівняння Клеро, потрібно диференціювати за , що дає
тому
Отже, або , або
У першому випадку для деякої константи . Підставляючи це в рівняння Клеро, отримуємо сімейство функцій прямої лінії, що задається формулою
так званий «загальний розв'язок» рівняння Клеро.
Останній випадок,
визначає лише один розв'язок , так званий сингулярний розв'язок, графік якого є обгорткою графіків загальних розв'язків. Сингулярний розв'язок зазвичай подають за допомогою параметричної нотації, як , де .
Параметричний опис сингулярного розв'язку має вигляд
де — параметр.
Приклади
Сімейства кривих, що є розв'язками двох рівнянь Клеро:
У кожному випадку загальні розв'язки зображені чорним кольором, а сингулярний розв'язок — фіолетовим.
Розширення
За розширенням, диференціальне рівняння з частинними похідними першого порядку виду
також відоме як рівняння Клеро.
Джерела