Диференціа́льні рівня́ння з і́мпульсною ді́єю (імпульсні диференціальні рівняння, диференціальні рівняння з імпульсами) — рівняння відносно невідомої кусково-неперервної функції, залежність якої від часу визначається диференціальним рівнянням (або системою диференціальних рівнянь) та імпульсними умовами, за якими в певні моменти часу функція робить стрибок (розрив першого роду).

У значній мірі заснували й розвинули теорію імпульсних диференціальних рівнянь київські математики та їхні учні.

Формулювання

Зазвичай диференціальні рівняння (або системи рівнянь) із імпульсами задано наступним чином:

Тут — деяка підмножина (меншої розмірності) розширеного фазового простору точок , — шуканий -вимірний вектор, і — задані неперервні -вимірні вектор-функції, і — лівостороння й правостороння границі функції в точці . Вважається, що розв'язки в точках розриву неперервні зліва й перетинають не більш, ніж зліченне число разів.

Узагалі кажучи, різні розв'язки можуть перетинати в різні моменти часу. Але поширеними є імпульсні диференціальні рівняння з фіксованими моментами імпульсів:

де — задані числа.

Властивості

На імпульсні диференціальні рівняння перенесено більшість результатів теорії звичайних диференціальних рівнянь: теореми про існування, продовжуваність та стійкість розв'язків тощо. Розглядають крайові задачі для них, рівняння з відхиленням аргументу, рівняння з частинними похідними і в абстрактних просторах.

Зокрема, розв'язок задачі Коші

для лінійної неоднорідної системи з фіксованими моментами імпульсної дії

де й — сталі матриця й вектор, можна записати таким чином:

де — матрицант (еволюційний оператор) імпульсної системи:

Тут — матрицант відповідної лінійної однорідної системи без імпульсів, — одинична матриця.

Застосування

Імпульсні диференціальні рівняння використовують у численних моделях математичної біології, фізики й техніки, які передбачають різку зміну досліджуваних характеристик.

Див. також Імпульсна перехідна функція

Джерела

А. М. Самойленко, Н. А. Перестюк. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. К.: Вища шк. Головное изд-во, 1987. N. A. Perestyuk, A. M. Samoilenko. Impulsive differential equations. World Scientific, 1995. V. Lakshmikantham, D. Bainov, P. S. Simeonov. Theory of impulsive differential equations. World Scientific, 1989. I. Stamova, G. Stamov. Applied impulsive mathematical models. CMS Books in Mathematics. Springer Cham, 2016.