Теорія Мора—Кулона — одна з базових теорій міцності матеріалів, яка ґрунтується на математичній моделі, що описує умови руйнування крихких і зернистих середовищ (зокрема ґрунтів, гірських порід, сипких матеріалів, бетонів, чавунів тощо) під дією механічних напружень. Багато класичних інженерних матеріалів так чи інакше відповідають цій моделі принаймні для випадків їхнього руйнування при зсуві. Загалом теорія застосовується до матеріалів, для яких міцність на стиск значно перевищує міцність при розтягуJuvinal, Robert C. & Marshek, Kurt Fundamentals of machine component design. — 2nd ed., 1991, pp. 217, . Теорія встановлює залежність між дотичними та нормальними напруженнями на площині руйнування і широко застосовується в геотехніці, гірничій справі та інженерній геології.
Історична довідка Теорія названа на честь Шарля Огюстена Кулона і Отто Христіана Мора. В її основі лежить гіпотеза Кулона, висловлена у 1773 році в есе під назвою «Essai sur une application des regles des maximis et minimis à quelques problèmes de statice relatifs à l'architecture» («Есе про застосування правил максимуму та мінімуму до деяких статичних задач, що стосуються архітектури»)Coulomb, C. A. (1773) Essai sur une application des regles des maximis et minimis a quelquels problemesde statique relatifs, a la architecture. Mem. Acad. Roy. Div. Sav., vol. 7, pp. 343—387.Amir R. Khoei Computational Plasticity in Powder Forming Processes; Elsevier, Amsterdam; 2005; 449 pp. про те, що опір пластичній деформації зсуву обумовлений внутрішнім тертям у тілі і формулюється так: граничний опір сипучих ґрунтів зсуву прямо пропорційний до нормального напруження. Цей закон отримав назву «закон Кулона».
Мор розробив узагальнену форму цієї теорії приблизно наприкінці XIX-го століттяMao-Hong Yu Advances in strength theories for materials under complex stress state in the 20th Century; Applied Mechanics Reviews; American Society of Mechanical Engineers, New York, U.S.A.; May 2002; 55 (3): pp. 169—218. у вигляді критерію, де граничні дотичні напруження виражаються через головні напруження і запропонував графічний метод представлення напруженого стану (круг Мора). Оскільки узагальнена форма вплинула на інтерпретацію критерію, але не на його зміст, деякі автори продовжують називати критерій просто «критерієм Кулона»Niels Saabye Ottosen and Matti Ristinmaa The Mechanics of Constitutive Modeling; Elsevier Science, Amsterdam, The Netherlands; 2005; pp. 165ff..
Критерій міцності Кулона—Мора
Основні положення
Критерій міцності Мора–Кулона ґрунтується на припущенні, що міцність матеріалів у загальному випадку напруженого стану залежить в основному від значення і знака найбільшого та найменшого головних напружень. Допустивши, що або, що воно неістотно впливає на міцність, можна будь-який напружений стан зобразити одним кругом Мора, побудованим на напруженнях і .
Якщо при певних значеннях і міцність матеріалу порушується, то круг, побудований на цих навантаженнях, називають «граничним». Варіюючи співвідношення між головними напруженнями, дістанемо для даного матеріалу сімейство граничних кругів. Досліди свідчать, що по мірі переходу із зони розтягування у зону стискання опір руйнуванню збільшується. Цьому відповідає збільшення діаметрів граничних кругів по мірі зміщення ліворуч по координаті.
Обвідна сімейства граничних кругів обмежує зону міцності. Точка C відповідає всебічному рівномірному розтяганню. Так як при рівномірному всебічному стисканні матеріал здатний, не руйнуючись, витримати дуже великі напруження, то обвідна ліворуч залишається незамкненою.
Якщо гранична обвідна відома, то обчислити міцність просто. За визначеними у небезпечній точці деталі значеннями головних напружень і будується круг. Міцність буде забезпечена, якщо він цілком ляже всередині обвідної. Якщо збільшувати пропорційно значення головних напружень доти, поки круг, що зображує даний напружений стан, не торкнеться граничної обвідної. Відношення радіусів побудованого таким чином граничного круга і початкового визначить коефіцієнт запасу.
На практиці невелику ділянку обвідної будують на основі двох дослідів — на розтягання і стискання відповідно до граничних напружень σ+в і σ-в, причому граничні криві заміняють прямими лініями, дотичними до кіл.
Критерій міцності Мора–Кулона представляє лінійну огинаючу, отриману з графіка залежності міцності матеріалу на зсув від прикладеного нормального напруження. Це відношення виражається як , де — значення дотичного напруження, — значення нормального напруження, — перетин кривої критерію міцності з віссю , а —тангенс кута нахилу кривої критерію міцності. Величину часто називають зчепленням, а кут називають кутом природного укосу або кутом внутрішнього тертя. Вважається, що напрям стиску є додатнім.
У випадку , критерій міцності Кулона — Мора перетворюється у критерій Треска́. Якщо ж , то критерій міцності Кулона — Мора відповідає моделі за .
Для кругів Мора справедливим є: , де , — максимальне головне напруження, а — мінімальне головне напруження.
Отже критерій міцності Кулона — Мора може бути записаний як: .
Цей вид критерію міцності Кулона-Мора відповідає руйнуванню на площині, паралельній до напрямку головного напруження.
Критерій міцності Кулона-Мора у трьох вимірах Критерій Кулона — Мора для випадку тривимірного простору часто виражається як:
Поверхня плинності Кулона-Мора у тривимірному просторі головних напружень являє собою конус із шестикутним поперечним перерізом у девіаторному просторі напружень.
Вирази для і можна узагальнити для трьох вимірів, розробивши вирази для нормального напруження та розрахованого напруження зсуву на площині довільної орієнтації відносно осей координат (базисних векторів). Якщо одиничною нормаллю до площини, що нас цікавить, є
де є трьома ортонормованими одиничними базисними векторами, і якщо головні напруження збігаються з базисними векторами , тоді вирази для запишуться у вигляді
Критерій руйнування Кулона—Мора можна застосувати у вигляді звичайного виразу
для шести площин максимального напруження зсуву.
{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left" ! Виведення формул для розрахунку нормального та зсувного напруження на площині |- | Нехай одиничною нормаллю до площини, що нас цікавить, буде
де є трьома ортонормованими одиничними базисними векторами. Тоді вектор повного напруження на площині задається як
Числове значення вектора повного напруження
Тоді величина напруження, нормального до площини, визначається як
Величина напруження зсуву на площині визначається як
Що стосується компонентів, то маємо
Якщо головні напруження збігаються з базисними векторами , тоді виразами для будуть
Фізичний зміст Теорія відображає подвійний механізм опору руйнуванню: когезійний компонент (зчеплення), характерний для зв'язаних матеріалів; тертя між частинками, що визначається кутом внутрішнього тертя.
Значення когезії (когезійної міцності) та кута тертя для гірських порід та деяких поширених ґрунтів наведено в таблицях нижче + Когезійна міцність (c) деяких матеріалівМатеріалКогезійна міцність у кПаКогезійна міцність у psiГірська порода Мул Глина — —Дуже м'яка глина — —М'яка глина — —Середньо м'яка глина — —Жорстка глина — —Дуже жорстка глина — —Тверда глина > >
+ Кут внутрішнього тертя() деяких матеріалівМатеріалКут тертя у градусахГірська порода °Пісок °—°Гравій °Мул °—°Глина °Пухкий пісок °—°Середній пісок °Щільний пісок °—°Піщаний гравій > °—°
Для різних матеріалів співвідношення цих компонентів суттєво відрізняється: для глин — значна роль когезії; для пісків — домінує тертя; для гірських порід — обидва фактори є важливими.
Застосування Теорія Мора—Кулона широко використовується у: розрахунках стійкості укосів; проєктуванні фундаментів; аналізі зсувів; гірничій справі (оцінка стійкості виробок); чисельному моделюванні в методах скінченних елементів.
У практиці інженерних розрахунків параметри і визначаються експериментально (наприклад, у випробуваннях на прямий зсув або тривісне стискання).
Обмеження Попри широке застосування, теорія має низку обмежень: лінійність критерію не завжди адекватно описує поведінку матеріалів при високих напруженнях; не враховує впливу історії навантаження; не описує деформаційні властивості (лише умови руйнування); обмежена точність для анізотропних і тріщинуватих порід.
Для складніших умов застосовують узагальнені критерії (наприклад, критерій Хука—Брауна).
Див. також Круг Мора Механіка ґрунтів Геомеханіка Теорії міцності Критерій Хука—Брауна
Примітки
Література Coulomb C. A. Essai sur une application des règles de maximis et minimis à quelques problèmes de statique relatifs à l'architecture. — Paris, 1776. Mohr O. Welche Umstände bedingen die Elastizitätsgrenze und den Bruch eines Materials? — Zeitschrift des Vereins Deutscher Ingenieure, 1900. Terzaghi K., Peck R. B., Mesri G. Soil Mechanics in Engineering Practice. — 3rd ed. — Wiley, 1996. Das B. M. Principles of Geotechnical Engineering. — 9th ed. — Cengage Learning, 2017. Budhu M. Soil Mechanics and Foundations. — Wiley, 2011. Писаренко Г. С. та ін. Опір матеріалів: Підручник / Г. С. Писаренко, О. Л. Квітка, Е. С. Уманський; За ред. Г. С. Писаренка. — 2-ге вид., допов. і переробл. — К.: Вища шк., 2004. — 655 с. ISBN — 966-642-056-2 Писаренко Г. С., Лебедев А. А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. — К.: Наукова думка, 1976. — 416 с. Гольденблат И. Н., Копнов В. А. Критерий прочности и пластичности конструкционных материалов. — М.: Машиностроение, 1968. — 192 с.