Велика та мала півосі

У геометрії велика вісь еліпса — це його найдовший діаметр, тобто відрізок, що проходить через центр та обидва фокуси, з кінцями у двох найбільш віддалених одна від одної точках периметра.

Велика піввісь — це відповідно найдовший півдіаметр або половина великої осі, і таким чином проходить від центру через фокус до периметра. Мала піввісь еліпса або гіперболи — це відрізок, який знаходиться під прямим кутом до великої піввісі та має один кінець у центрі конічного перерізу.

Для окремого випадку кола довжини півосей дорівнюють радіусу кола.

Довжина великої півосі еліпса пов'язана з довжиною малої півосі через ексцентриситет та найширшу півкільць еліпса. , наступним чином:

Велика піввісь гіперболи, залежно від умовних позначень, дорівнює плюс або мінус половина відстані між двома гілками. Таким чином, це відстань від центру до будь-якої вершини гіперболи.

Параболу можна отримати як границю послідовності еліпсів, де один фокус залишається фіксованим, а іншому дозволено рухатися довільно далеко в одному напрямку, зберігаючи фіксовано. Таким чином, та прямують до нескінченності, швидше, ніж .

Велика та мала осі є осями симетрії кривої. Відповідно в еліпсі мала вісь — коротша, а в гіперболі — та, що не перетинає гіперболу.

Еліпс Рівнянням еліпса є:

де (h, k) — центр еліпса в декартових координатах, в якому довільна точка задається як (x, у).

Велика піввісь становить середнє значення максимальної та мінімальної відстаней і еліпса від фокуса — тобто відстаней від фокуса до кінцевих точок великої осі.

В астрономії ці крайні точки називаються апсидами.

Мала піввісь еліпса дорівнює середньому геометричному цих відстаней:

Ексцентриситет еліпса визначається як

так

Тепер розглянемо рівняння в полярних координатах, з одним фокусом у початку координат, а іншим на напрямок:

Середнє значення і , для і є

В еліпсі велика піввісь — це середнє геометричне відстані від центру до будь-якого фокуса та відстані від центру до будь-якої директриси.

Мала піввісь еліпса проходить від центру еліпса (точки посередині між фокусами та на лінії, що проходить між ними) до краю еліпса. Мала піввісь дорівнює половині малої осі і є найдовшим відрізком прямої, перпендикулярний до великої осі, який з'єднує дві точки на краю еліпса.

Мала піввісь пов'язана з великою піввіссю через ексцентриситет та напівшироку кисть прямої кишки , наступним чином:

Параболу можна отримати як границю послідовності еліпсів, де один фокус залишається фіксованим, а іншому дозволено рухатися довільно далеко в одному напрямку, зберігаючи фіксованою.

Таким чином, та прямують до нескінченності, швидше, ніж .

Довжину малої півосі також можна знайти за такою формулою:

де  — відстань між фокусами, та  — відстані від кожного фокуса до будь-якої точки еліпса.

Гіпербола Велика піввісь гіперболи, залежно від умовних позначень, дорівнює плюсу або мінусу половина відстані між двома гілками; якщо це в напрямку x, рівняння має вигляд:

Щодо напівширокої прямої кишки та ексцентриситету, ми маємо

Поперечна вісь гіперболи збігається з великою віссю.

У гіперболі, спряжена вісь або мала вісь довжини , що відповідає малій осі еліпса, можна провести перпендикулярно до поперечної або великої осі, причому остання з'єднує дві вершини (точки повороту) гіперболи.

При цьому дві осі перетинаються в центрі гіперболи. Кінцеві точки Малої осі лежать на висоті асимптот над/під вершинами гіперболи. Будь-яка з половин малої осі називається малою піввіссю довжиною . Позначивши довжину великої півосі (відстань від центру до вершини) як , довжини малої та великої півосі з'являються в рівнянні гіперболи відносно цих осей наступним чином:

Мала піввісь також є відстанню від одного з фокусів гіперболи до асимптоти. Часто її називають параметром удару, вона є важливою у фізиці та астрономії та вимірює відстань, на яку частинка пройде повз фокус, якщо її шлях не збурюється тілом у фокусі.

Мала піввісь та велика піввісь пов'язані через ексцентриситет наступним чином:

Зверніть увагу, що в гіперболі може бути більшим за .

Астрономія

Орбітальний період

В астродинаміці період обертання малого тіла, що обертається навколо центрального тіла по круговій або еліптичній орбіті, дорівнює:

де:

Варто зауважити, що для всіх еліпсів із заданою великою піввіссю період обертання однаковий, не враховуючи їх ексцентриситет.

Питомий кутовий момент малого тіла, що обертається навколо центрального тіла по круговій або еліптичній орбіті, дорівнює

де:

В астрономії велика піввісь є одним з найважливіших орбітальних елементів орбіти, поряд з її періодом обертання.

Для об'єктів Сонячної системи велика піввісь пов'язана з періодом обертання третім законом Кеплера (спочатку виведеним емпірично):

де  — період, а  — велика піввісь. Ця форма виявляється спрощеною формою для задачі двох тіл, визначеної Ньютоном:

де  — гравітаційна стала,  — маса центрального тіла, а  — маса тіла, що обертається навколо. Зазвичай маса центрального тіла настільки більша за масу тіла, що обертається навколо, що можна знехтувати. Зробивши це припущення та використовуючи типові астрономічні одиниці, отримаємо простішу форму, яку відкрив Кеплер.

Шлях тіла, що обертається по орбіті, навколо барицентру та його шлях відносно первинної осі є еліпсами.

Велика піввісь іноді використовується в астрономії як відстань між первинною та вторинною осями, коли відношення мас первинної та вторинної осей значно велике (). Таким чином, параметри орбіт планет задані в геліоцентричних термінах.

Різницю між примоцентричною та «абсолютною» орбітами найкраще проілюструвати, розглянувши систему Земля-Місяць. Співвідношення мас у цьому випадку становить . Характерна відстань Земля-Місяць, велика піввісь геоцентричної місячної орбіти, становить 384 400 км. Враховуючи ексцентриситет місячної орбіти e = 0,0549, його мала піввісь дорівнює 383 800 км. Таким чином, орбіта Місяця майже кругова.

Барицентрична місячна орбіта, з іншого боку, має велику піввісь 379 730 км, а контрорбіта Землі поглинає різницю, 4670 км. Середня барицентрична орбітальна швидкість Місяця становить 1,010 км/с, тоді як у Землі це 0,012 км/с. Сума цих швидкостей дає геоцентричну середню орбітальну швидкість Місяця 1,022 км/с.

Те саме значення можна отримати, враховуючи лише значення великої півосі геоцентричної осі.

Середня відстань Часто кажуть, що велика піввісь — це «середня відстань» між основним фокусом еліпса та тілом, що обертається. Це є не зовсім точним, оскільки залежить від того, яке усереднення береться. Усереднена за часом та кутом відстань тіла, що обертається, може відрізнятися на 50-100 % від великої півосі орбіти, залежно від ексцентриситету.

усереднення відстані по ексцентричній аномалії дійсно призводить до отримання великої півосі. усереднення по справжній аномалії (справжньому орбітальному куті, виміряному у фокусі) призводить до отримання малої півосі . усереднення за середньою аномалією (частка орбітального періоду, що вже минула з моменту досягнення перицентру, виражена як кут) дає усереднення за часом .

Усереднене за часом значення оберненої величини радіуса, , є .

Енергія та розрахунок великої півосі з векторів станів В астродинаміці велику піввісь можна обчислити з векторів орбітальних станів:

для еліптичної орбіти та, залежно від умовних позначень, однакової або

для гіперболічної траєкторії, та

(питома орбітальна енергія) та

(стандартний гравітаційний параметр), де:

 — орбітальна швидкість (вектор швидкості орбітального об'єкта),  — декартовий радіус-вектор орбітального об'єкта в системі координат, відносно якої обчислюються елементи орбіти (наприклад, геоцентрична екваторіальна для орбіти навколо Землі або геліоцентрична екліптична для орбіти навколо Сонця),  — гравітаційна стала,  — маса гравітаційного тіла,  — питома енергія орбітального об'єкта.

Варто уточнити, що для заданої загальної маси питома енергія та велика піввісь завжди однакові, незалежно від ексцентриситету або співвідношення мас. І навпаки, для заданої загальної маси та великої півосі повна питома орбітальна енергія завжди однакова. Це твердження завжди буде вірним за будь-яких заданих умов.

Велика та мала півосі орбіт планет Орбіти планет завжди наводяться як яскраві приклади еліпсів (перший закон Кеплера). Однак мінімальна різниця між великою та малою піввісями показує, що вони мають практично круговий вигляд. Ця різниця (або співвідношення) базується на ексцентриситеті та обчислюється як , що для типових ексцентриситетів планет дає дуже малі результати.

Причина припущення про виражені еліптичні орбіти, ймовірно, полягає в набагато більшій різниці між афелієм та перигелієм. Ця різниця (або співвідношення) також базується на ексцентриситеті та обчислюється як Через велику різницю між афелієм та перигелієм, другий закон Кеплера легко візуалізувати. Ексцентричність Велика піввісь a (а.о.) Мала піввісь b (AU) Різниця (%) Перигелій (АС) Афелій (AU) Різниця (%) Меркурій 0,206 0,38700 0,37870 2.2 0,307 0,467 52 Венера 0,007 0,72300 0,72298 0,002 0,718 0,728 1.4 Земля 0,017 1.00000 0,99986 0,014 0,983 1.017 3.5 Марс 0,093 1.52400 1.51740 0,44 1.382 1.666 21 рік Юпітер 0,049 5.20440 5.19820 0,12 4.950 5.459 10 Сатурн 0,057 9.58260 9.56730 0,16 9.041 10.124 12 Уран 0,046 19.21840 19.19770 0,11 18.330 20.110 9.7 Нептун 0,010 30.11000 30.10870 0,004 29.820 30.400 1.9 1 а.о. (астрономічна одиниця) дорівнює 149,6 мільйонам км.

Примітки

Посилання

Велика та мала півосі еліпса з інтерактивною анімацією