Гранична умова Коші (або крайова умова Коші) — у математиці, зокрема в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними та звичайних диференціальних рівнянь, тип крайових умов, який доповнює рівняння вимогами, яким розв'язок має задовольняти на межі заданої області. Зазвичай такі умови формулюють так, щоб гарантувати існування та єдиність розв'язку крайової задачі.
Гранична умова Коші задає одночасно значення самої шуканої функції та значення її похідної за напрямком зовнішньої нормалі на межі області. Це еквівалентно одночасному заданню крайової умови Діріхле (задання функції) та крайової умови Неймана (задання похідної). Умова названа на честь французького математика XIX століття Оґюстена-Луї Коші.
Звичайні диференціальні рівняння другого порядку Умови Коші є одним із найпоширеніших способів постановки задач для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку загального вигляду
Для того, щоб гарантувати існування єдиного розв'язку для такого рівняння, достатньо задати значення функції та її похідної у деякій фіксованій точці . Тобто
та
де — гранична або початкова точка області визначення. Оскільки незалежний параметр часто інтерпретується як час, умови Коші в цьому контексті також називають початковими умовами, даними початкових значень або даними Коші. Типовим прикладом є другий закон Ньютона в механіці, у якому прискорення матеріальної точки визначається її положенням , швидкістю та часом . У цьому випадку дані Коші визначають початкове положення та швидкість матеріальної точки, що забезпечує однозначність подальшого руху системи.
Диференціальні рівняння з частинними похідними Для диференціальних рівнянь з частинними похідними умови Коші задають як значення функції, так і її похідну за напрямком зовнішньої нормалі на межі області. Нехай задано диференціальне рівняння другого порядку з лінійною головною частиною на площині
де — шуканий розв'язок, позначає часткову похідну функції за змінною , а функції визначають постановку задачі.
Нехай необхідно знайти таку функцію , яка є розв'язком цього рівняння всередині відкритої області , що є підмножиною площини , і для якої на межі цієї області виконуються граничні умови Коші
для всіх граничних точок . Тут вираз є похідною за напрямком зовнішньої нормалі до межі області, а задані функції і називають даними Коші.
Слід відрізняти граничну умову Коші від крайової умови Робена. В умові Коші значення функції та її похідної за напрямком зовнішньої нормалі задаються двома незалежними рівняннями. Натомість умова Робена визначає розв'язок через зважену лінійну комбінацію цих двох величин у вигляді єдиного рівняння на межі.
Коректність задачі та зв'язок з типом рівнянь Метою введення граничних умов є забезпечення існування та єдиності розв’язку, тобто коректно поставленої задачі в сенсі Адамара. У випадку диференціальних рівнянь з частинними похідними забезпечення цієї коректності є суттєво складнішим, ніж для звичайних диференціальних рівнянь.
Згідно з класичною теоремою Коші—Ковалевської, задача Коші має локальний аналітичний розв’язок у деякому околі початкової поверхні за умови, що коефіцієнти рівняння та початкові дані є аналітичними функціями.
Дані Коші найчастіше використовують у гіперболічних задачах, наприклад для хвильового рівняння на відкритих областях.
Натомість для еліптичних рівнянь, таких як рівняння Лапласа, постановка задачі Коші є некоректною. Жак Адамар встановив, що для еліптичних рівнянь задача Коші є некоректною: малі зміни початкових даних можуть спричиняти необмежені зміни розв’язку. У зв’язку з цим для еліптичних рівнянь часто застосовують крайові умови Діріхле, Неймана або Робена.
Див. також
Крайова умова Діріхле Змішана крайова умова Крайова умова Неймана Крайова умова Робена Задача Коші Теорема Коші — Ковалевської Коректно поставлена задача
Примітки
Джерела Evans, L. C. Partial Differential Equations. American Mathematical Society, 2010. Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press, 2006. Ivrii, V. Partial Differential Equations. University of Toronto. Тихонов А. М., Самарський О. А. *Рівняння математичної фізики*. — М.: Наука, 1972.