У математиці гіпотеза Мертенса — твердження, що функція Мертенса обмежена . Хоча зараз її спростовано, доведено, що вона випливає з гіпотези Рімана. Цю гіпотезу висунув 1885 року Томас Йоанес Стілтьєс у листі до Шарля Ерміта (передруковано в ), потім надрукував і спростували . Це яскравий приклад математичної гіпотези, яка виявилася хибною, попри багато обчислювальних доводів на її користь.
Визначення У теорії чисел функцію Мертенса визначено як
де μ (k) — функція Мебіуса; гіпотеза Мертенса полягає в тому, що для всіх n > 1,
Спростування гіпотези Стілтьєс 1885 року стверджував, що довів слабший результат, а саме, що обмежена, але не опублікував доведення. (З погляду , гіпотеза Мертенса полягає в тому, що .)
1985 року та довели хибність гіпотези Мертенса, використовуючи :
і
Пізніше показано, що перший контрприклад з'являється нижче від але вище від 1016. Верхню межу відтоді знижено до або приблизно до а потім знову до . 2024 року Синкі Кім та знизили межу до , але жодного явного контрприкладу наразі невідомо.
стверджує, що якщо замінити +1 та −1, то порядок зростання часткової суми перших членів (з імовірністю 1) буде приблизно що говорить про те, що порядок зростання може бути близько . Фактичний порядок зростання може бути дещо меншим; на початку 1990-х років Стів Ґонек висунув гіпотезу, що порядок зростання становить що підтвердив 2004 року Нг на основі евристичного аргументу, який припускав гіпотезу Рімана та певні припущення щодо усередненої поведінки нулів дзета-функції Рімана.
1979 року Коен та Дресс виявили найбільше відоме значення для а 2011 року Кузнецов знайшов найбільше за модулем відоме від'ємне значення для 2016 року Герст обчислив для кожного , але не знайшов більших значень .
2006 року Котнік та те Ріле покращили верхню межу та показали, що існує нескінченно багато значень , для яких але не вказали жодного конкретного значення такого . 2016 року Герст зробив подальші покращення, показавши
і
Зв'язок із гіпотезою Рімана Зв'язок із гіпотезою Рімана ґрунтується на ряді Діріхле для оберненої величини дзета-функції Рімана,
дійсний при . Це можна переписати як інтеграл Стілтьєса
і після інтегрування частинами отримати обернену величину дзета-функції як перетворення Мелліна
Тепер, використовуючи , можна виразити через як
що виконується для , та для за гіпотезою Рімана. З цього випливає, що інтеграл перетворення Мелліна має бути збіжним, а отже має бути для кожного показника e, більшого від 1/2. Звідси випливає, що
для всіх додатних еквівалентно гіпотезі Рімана, яка, отже, випливала б із сильнішої гіпотези Мертенса, а також випливає з гіпотези Стілтьєса, що
Примітки
Література
Посилання