Біноміальний розподіл Пуассона

У теорії ймовірностей та статистиці біноміа́льний розпо́діл Пуассо́на — це дискретний розподіл імовірностей суми незалежних випробувань Бернуллі, які не обов'язково є однаково розподіленими. Концепція названа на честь Сімеона Дені Пуассона.

Іншими словами, це розподіл імовірностей кількості успіхів у наборі з незалежних експериментів (з результатами «так» або «ні») з імовірностями успіху . Звичайний біноміальний розподіл є окремим випадком біноміального розподілу Пуассона, коли всі ймовірності успіху є однаковими, тобто .

Визначення

Функція маси ймовірностей Ймовірність отримання успішних випробувань із загальної кількості можна записати як суму:

де  — множина всіх підмножин із цілих чисел, які можна вибрати з . Наприклад, якщо , то .  — це доповнення до , тобто .

Множина міститиме елементів. Обчислення суми за всіма цими елементами на практиці є нездійсненним, якщо кількість випробувань не є малою (наприклад, якщо , містить понад елементів). Однак існують інші, ефективніші способи обчислення .

За умови, що жодна з імовірностей успіху не дорівнює одиниці, ймовірність успіхів можна обчислити за допомогою рекурсивної формули:

де

Ця рекурсивна формула не є чисельно стійкою, тому її слід уникати, якщо більше приблизно 20.

Альтернативою є алгоритм «розділяй і володарюй»: якщо припустити, що є степенем двійки, позначаючи через біноміальний розподіл Пуассона для ймовірностей , а через  — оператор згортки, ми отримаємо .

У загальному випадку функцію маси ймовірностей біноміального розподілу Пуассона можна виразити як згортку векторів , де . Це спостереження веде до алгоритму прямої згортки (DC — від англ. direct convolution) для обчислення ймовірностей від до :// Масиви PMF та nextPMF починаються з індексу 0 function DC(p_1, ..., p_n) is declare new PMF array of size 1 PMF = for i = 1 to n do declare new nextPMF array of size i + 1 nextPMF = (1 - p_i) * PMF nextPMF[i] = p_i * PMF[i - 1] for k = 1 to i - 1 do nextPMF[k] = p_i * PMF[k - 1] + (1 - p_i) * PMF[k] repeat PMF = nextPMF repeat return PMF end functionЙмовірність знаходитиметься в елементі PMF[k]. Алгоритм прямої згортки є чисельно стійким, точним і, будучи реалізованим у вигляді програмного коду, надзвичайно швидким для . Він також може бути достатньо швидким і для більших значень , залежно від розподілу значень .

Ще однією можливістю є використання дискретного перетворення Фур'є:

де , а .

Інші методи описані у працях «Statistical Applications of the Poisson-Binomial and conditional Bernoulli distributions» Ченя та Лю та «A simple and fast method for computing the Poisson binomial distribution function» Біскаррі та ін.

Кумулятивна функція розподілу Кумулятивна функція розподілу (КФР) може бути виражена як:

де  — множина всіх підмножин розміру , які можна вибрати з .

Її можна обчислити, викликавши вищенаведену функцію DC, а потім додавши елементи масиву PMF від до .

Властивості

Математичне сподівання та дисперсія Оскільки змінна з біноміальним розподілом Пуассона є сумою незалежних змінних із розподілом Бернуллі, її математичне сподівання та дисперсія будуть дорівнювати сумам математичних сподівань і дисперсій цих розподілів Бернуллі:

Ентропія Простої формули для ентропії біноміального розподілу Пуассона не існує, але ентропія обмежена зверху ентропією біноміального розподілу з тим самим параметром кількості випробувань і тим самим математичним сподіванням. Таким чином, ентропія також обмежена зверху ентропією розподілу Пуассона з тим самим математичним сподіванням.

Гіпотеза Шеппа — Олкіна про увігнутість (запропонована Лоуренсом Шеппом та Інграмом Олкіном у 1981 році) стверджує, що ентропія біноміального розподілу Пуассона є увігнутою функцією імовірностей успіху . Цю гіпотезу довели Ерван Хілліон та Олівер Джонсон у 2015 році. Гіпотеза Шеппа — Олкіна про монотонність, з тієї ж роботи 1981 року, полягає в тому, що ентропія монотонно зростає за , якщо всі . Ця гіпотеза також була доведена Хілліоном та Джонсоном у 2019 році.

Межа Чернова Ймовірність того, що значення біноміального розподілу Пуассона стане великим, можна обмежити зверху за допомогою його твірної функції моментів таким чином (нерівність Чернова, що дійсна при та для будь-якого ):

де ми взяли . Це схоже на оцінки хвостів біноміального розподілу.

Пов'язані розподіли

Апроксимація біноміальним розподілом Біноміальний розподіл Пуассона можна апроксимувати біноміальним розподілом , де  — середнє значення  — виступає як імовірність успіху для . Дисперсії та пов'язані формулою:

Як можна помітити, чим ближчі до (тобто чим більше тяжіють до однорідності), тим більшою є дисперсія . Коли всі дорівнюють , розподіл перетворюється на , , і дисперсія досягає свого максимуму.

В. Ем (Ehm) визначив межі для відстані повної варіації між та , по суті надавши оцінку похибки, що виникає при апроксимації за допомогою . Нехай , а  — відстань повної варіації між та . Тоді:

де .

Відстань прямує до 0 тоді й лише тоді, коли відношення прямує до 1.

Апроксимація розподілом Пуассона Біноміальний розподіл Пуассона також можна апроксимувати розподілом Пуассона із математичним сподіванням . Барбур та Голл (Barbour and Hall) довели, що:

де  — відстань повної варіації між та . Видно, що чим менші значення , тим краще апроксимує .

Оскільки , а , маємо ; отже, дисперсія біноміального розподілу Пуассона обмежена зверху дисперсією розподілу Пуассона з параметром , і чим менші значення , тим ближчою буде до .

Обчислювальні методи У роботі Хонга (2013) розглядаються методи обчислення функції маси ймовірностей біноміального розподілу Пуассона. На ній базуються наступні програмні реалізації:

До статті додається пакет poibin для мови програмування R, який доступний для обчислення КФР (CDF), ФМЙ (PMF), функції квантилів та генерування випадкових чисел для біноміального розподілу Пуассона. Для обчислення точної функції маси ймовірностей можна вказати алгоритм дискретного перетворення Фур'є (DFT) або рекурсивний алгоритм; також можна вказати методи апроксимації за допомогою нормального розподілу та розподілу Пуассона. Бібліотека poibin — реалізація на мові Python — може обчислювати ФМЙ та КФР; для цього вона використовує метод дискретного перетворення Фур'є (DFT), описаний у згаданій вище статті.

Див. також

Теорема Ле Кама

Примітки