У теорії ймовірностей та статистиці розпо́діл Радема́хера (названий на честь математика Ганса Радемахера) — це дискретний розподіл імовірностей, за якого випадкова величина має 50 % імовірність набути значення +1 і 50 % імовірність набути значення −1.
Ряд (тобто суму) випадкових величин, що мають розподіл Радемахера, можна розглядати як просте симетричне випадкове блукання з розміром кроку 1.
Математичне формулювання Функція маси ймовірностей цього розподілу має вигляд:
Межі для сум незалежних змінних Радемахера Існують різноманітні результати у теорії ймовірностей, присвячені аналізу сум незалежних однаково розподілених величин Радемахера. Вони включають нерівності концентрації (наприклад, нерівності Бернштейна), а також нерівності антиконцентрації, такі як гіпотеза Томашевського.
Нерівності концентрації Нехай — набір випадкових величин із розподілом Радемахера. Нехай — послідовність дійсних чисел. Тоді:
де — евклідова норма послідовності , — дійсне число, а — ймовірність події .Montgomery-Smith, S. J. (1990). «The distribution of Rademacher sums». Proc Amer Math Soc. 109 (2): 517—522.
Нехай і нехай — майже напевно збіжний ряд у банаховому просторі. Тоді для та маємо:Dilworth, S. J.; Montgomery-Smith, S. J. (1993). «The distribution of vector-valued Radmacher series». Ann Probab. 21 (4): 2046—2052.
для деякої константи .
Нехай — додатне дійсне число. Тоді Нерівність Хінчина стверджує, що:Khintchine, A. (1923). «Über dyadische Brüche». Math. Z. 18 (1): 109—116.
де та — константи, що залежать лише від . Для , .
Гіпотеза Томашевського У 1986 році математик Богуслав Томашевський (Bogusław Tomaszewski) сформулював питання про розподіл суми незалежних величин Радемахера. Низка досліджень у цій галузі завершилася у 2020 році доведенням гіпотези математиками Натаном Келлером (Nathan Keller) та Охадом Кляйном (Ohad Klein).Keller, Nathan; Klein, Ohad (2021). «Proof of Tomaszewski's Conjecture on Randomly Signed Sums». arXiv:2006.16834 [math.CO].
Гіпотеза. Нехай , де , а — незалежні величини Радемахера. Тоді:
Наприклад, коли , ми отримуємо наступну межу, вперше доведену Ван Зюйленом (Van Zuijlen):van Zuijlen, Martien C. A. (2011). «On a conjecture concerning the sum of independent Rademacher random variables». arXiv:1112.4988 [math.PR].
Ця межа є точною і кращою за ту, яку можна було б вивести з нормального розподілу (де ймовірність становить приблизно > 0,31).
Застосування
Розподіл Радемахера використовується у методі бутстрепа. Він також є особливо корисним у багатовимірній статистиці. Розподіл Радемахера можна застосувати, щоб показати, що якщо дві змінні мають нормальний розподіл і є некорельованими, це не обов'язково означає, що вони є незалежними. Випадкові вектори з компонентами, що незалежно вибираються з розподілу Радемахера, корисні для різних стохастичних апроксимацій, наприклад: Оцінка сліду Гатчінсона (Hutchinson trace estimator), яка дозволяє ефективно наближати слід матриці, елементи якої недоступні безпосередньо, а визначаються неявно через добутки матриці на вектор.Avron, H.; Toledo, S. (2011). «Randomized algorithms for estimating the trace of an implicit symmetric positive semidefinite matrix». Journal of the ACM. 58 (2): 8. SPSA (стохастична апроксимація з одночасним збуренням) — обчислювально дешева, безпохідна стохастична апроксимація градієнта, корисна для чисельної оптимізації. Випадкові величини Радемахера використовуються в нерівності симетризації (Symmetrization Inequality).
Пов'язані розподіли
Розподіл Бернуллі: Якщо має розподіл Радемахера, тоді випадкова величина має розподіл Бернуллі з параметром . Розподіл Лапласа: Якщо має розподіл Радемахера, а є незалежною від змінною (з експоненційним розподілом), тоді їхній добуток має розподіл Лапласа: .
Див. також
Функції Радемахера
Примітки