Метрика Каснера (розроблена та названа на честь американського математика Едварда Каснера в 1921 році) є точним розв'язком теорії загальної відносності Альберта Ейнштейна. Вона описує анізотропний Всесвіт без матерії (тобто є вакуумним розв'язком). Її можна записати в будь-якому вимірі простору-часу. і має тісні зв'язки з вивченням гравітаційного хаосу.
Метрика та умови Метрика в виміри простору-часу є
,
і містить констант , які називаються показниками Казнера. Ця метрика описує простір-час, у якому просторові зрізи при фіксованому часі є евклідовими, однак сам простір розширюється або стискається анізотропно, причому швидкість цього процесу залежить від значень . Для тестових частинок, координати яких відрізняються на , фізична відстань між ними на часі t задається як .
Метрика Каснера є точним розв'язком рівнянь Ейнштейна у вакуумі, коли показники Каснера задовольняють такі умови Каснера:
Перша умова визначає площину, площину Каснера, а друга описує сферу, сферу Каснера. Розв'язки (вибір ), що задовольняють дві умови, тому лежать на сфері, де вони перетинаються (іноді її також плутають, її також називають сферою Казнера). У просторово-часових вимірах, простір рішень, таким чином, лежить на багатомірна сфера .
Особливості Є кілька помітних і незвичайних особливостей рішення Каснера:
Об'єм просторових зрізів завжди Це пояснюється тим, що їхній об'єм пропорційний , та
де ми використали першу умову Каснера. Тому може описати або Великий вибух, або Велике стиснення, залежно від відчуття
Ізотропне розширення або стиснення простору не допускається. Якщо просторові зрізи розширювалися ізотропно, то всі показники Казнера повинні бути рівними, і тому щоб задовольнити першу умову Каснера. Але тоді друга умова Каснера не може бути виконана, оскільки
Метрика Фрідмана-Леметра-Робертсона-Вокера, що використовується в космології, навпаки, здатна ізотропно розширюватися або стискатися через наявність матерії. Додатково можна показати, що принаймні один із показників Казнера є від’ємним, за винятком виродженого випадку, коли один із , а всі інші дорівнюють нулю. Розглянемо часову координату , що зростає від нуля. Тоді об’єм простору зростає як , однак щонайменше один просторовий напрямок, який відповідає від’ємному показнику Каснера, зазнає стискання. Метрика Казнера є точним розв’язком вакуумних рівнянь Ейнштейна, тому тензор Річчі тотожно дорівнює нулю для будь-якого набору експонент, що задовольняють умови Казнера. Натомість повний тензор Рімана зникає лише у випадку, коли один, а решта дорівнюють нулю; у цьому випадку простір-час є пласким. Метрику Мінковського можна відновити шляхом відповідної заміни координат та .
Див. також
Сингулярність BKL Всесвіт Mixmaster
Нотатки
Посилання