У фізиці метрика Леметра — Толмана, також відома як метрика Леметра — Толмана — Бонді або метрика Толмана, — це метрика Лоренца, що базується на точному розв'язку рівнянь поля Ейнштейна; вона описує ізотропний та розширюваний (або стискаючий) Всесвіт, який не є однорідним, і тому використовується в космології як альтернатива стандартній метриці Фрідмана — Леметра — Робертсона — Вокера для моделювання розширення Всесвіту.
Вона також використовувалася для моделювання Всесвіту з фрактальним розподілом матерії, щоб пояснити прискорене розширення Всесвіту. Вперше її знайшли Жорж Леметр у 1933 році та Річард Толман у 1934 році, а пізніше досліджував Герман Бонді у 1947 році.
Деталі У синхронній системі відліку, де і , координата часу (ми встановили ) також є відповідним часом і годинники в усіх точках можуть бути синхронізовані. Для пилоподібного середовища, в якому тиск дорівнює нулю, частинки пилу рухаються вільно вздовж геодезичних траєкторій. У цьому випадку синхронна система відліку збігається з комовою (супутньою) системою відліку, в якій компоненти чотиришвидкості мають вигляд . Розв'язування рівнянь гравітаційного поля в такій постановці дає
де — це радіус або відстань світності в тому сенсі, що площа поверхні сфери з радіусом є і інтерпретується як лагранжева координата та
,
підданий умовам і , де і є довільними функціями, — густина речовини, а штрихи позначають диференціювання відносно .
Ми також можемо припустити і що виключає випадки, що призводять до перетину матеріальних частинок під час її руху. Кожній частинці відповідає значення , функція , а його похідна за часом відповідно забезпечує закон руху та радіальну швидкість.
Цікавою властивістю описаного вище розв'язку є те, що коли і зображені як функції , вигляд цих функцій, побудованих для діапазону не залежить від того, як ці функції будуть зображені на графіку для .
Це передбачення, очевидно, схоже на теорію Ньютона. Загальна маса всередині сфери задається
,
що означає, що радіус Шварцшильда визначається як .
Функція можна отримати шляхом інтегрування та задається в параметричній формі з параметром з трьома можливостями,
де виникає як ще одна довільна функція. Однак відомо, що центрально-симетричний розподіл матерії може бути описаний не більш ніж двома незалежними функціями — зокрема густиною та радіальною швидкістю матерії. Це означає, що з трьох функцій лише дві є незалежними. Фактично, оскільки для лагранжевої координати не було зроблено фіксованого вибору і вона допускає довільні перетворення, система має лише дві довільні функціональні ступені свободи. Для пилоподібного середовища існує також альтернативний розв'язок, у якому не залежить від ; однак такий випадок не описує колапс скінченного масивного тіла матерії.
Розв'язок Шварцшильда Коли конст., і тому розв'язок відповідає порожньому простору з точковою масою, розташованою в центрі. Далі, покладаючи і , розв'язок зводиться до розв'язку Шварцшильда, вираженого в координатах Леметра.
Гравітаційний колапс Гравітаційний колапс відбувається, коли досягає з Момент відповідає надходженню матерії, позначеному її лагранжевою координатою до центру. У всіх трьох випадках, як , асимптотичні поведінки задаються як
,
у якому перші два співвідношення показують, що в супутній системі відліку радіальні відстані зростають до нескінченності, тоді як тангенціальні відстані прямують до нуля пропорційно . Водночас третє співвідношення демонструє, що густина речовини зростає як . У спеціальному випадку, коли = сталій величині. Це означає, що момент колапсу всіх матеріальних частинок є однаковим, асимптотична поведінка системи якісно змінюється.
Тут як тангенціальна, так і радіальна відстані прагнуть до нуля, як , тоді як густина речовини зростає як
Див. також
Координати Леметра Вступ до математики загальної теорії відносності Тензор напруження-енергії Метричний тензор (загальна теорія відносності) Релятивістський кутовий момент Неоднорідна космологія
Посилання