Підхід мереж залежностей забезпечує аналіз активності та топології спрямованих мереж на системному рівні. Цей підхід виявляє причинно-наслідкові топологічні зв'язки між вузлами мережі (під час аналізу структури мережі) та забезпечує важливий крок до виведення причинно-наслідкових зв'язків активності між вузлами мережі (під час аналізу активності мережі). Ця методологія спочатку була запроваджена для вивчення фінансових данихDror Y. Kenett, Yoash Shapira, Gitit Gur-Gershgoren, and Eshel Ben-Jacob (submitted), Index Cohesive Force analysis of the U.S. stock market, Proceedings of the 2011 International Conference on Econophysics, Kavala, Greece, вона була розширена та застосована до інших систем, таких як імунна системаAsaf Madi, Dror Y. Kenett, Sharron Bransburg-Zabary, Yifat Merbl, Francisco J. Quintana, Stefano Boccaletti, Alfred I. Tauber, Irun R. Cohen, and Eshel Ben-Jacob (2011), Analyses of antigen dependency networks unveil immune system reorganization between birth and adulthood, Chaos 21, 016109 , семантичні мережі та функціональні мережі мозку.
У випадку мережевої активності аналіз базується на часткових кореляціяхKunihiro Baba, Ritel Shibata, Masaaki Sibuya (2004), Partial correlation and conditional correlation as measures of conditional independence, Aust New Zealand J Stat 46(4): 657–774Yoash Shapira, Dror Y. Kenett, and Eshel Ben-Jacob (2009), The Index Cohesive Effect on Stock Market Correlations, Journal of Physics B. vol. 72, no. 4, pp. 657–669Dror Y. Kenett, Matthias Raddant, Thomas Lux, and Eshel Ben-Jacob (submitted), Evolvement of uniformity and volatility in the stressed global market, PNASEran Stark, Rotem Drori and Moshe Abeles (2006), Partial Cross-Correlation Analysis Resolves Ambiguity in the Encoding of Multiple Movement Features, J Neurophysiol 95: 1966–1975. Простими словами, часткова (або залишкова) кореляція – це міра впливу (або внеску) заданого вузла, скажімо, j, на кореляції між іншою парою вузлів, скажімо, i та k . Використовуючи цю концепцію, залежність одного вузла від іншого вузла обчислюється для всієї мережі. Це призводить до орієнтованої зваженої матриці суміжності повністю зв'язаної мережі. Після побудови матриці суміжності для побудови мережі можна використовувати різні алгоритми, такі як порогова мережа, мінімальне кістякове дерево (MST), планарний максимально фільтрований граф (PMFG) та інші.
Важливість Мережа часткової кореляції на основі залежностей – це клас кореляційних мереж, здатних виявляти приховані зв'язки між своїми вузлами.
Цю оригінальну методологію вперше представили наприкінці 2010 року та опублікували в PLoS ONE. Автори кількісно виявили приховану інформацію про базову структуру фондового ринку США, інформацію, якої не було у стандартних кореляційних мережах. Одним з головних результатів цієї роботи є те, що протягом досліджуваного періоду часу (2001–2003) у структурі мережі домінували компанії, що належать до фінансового сектору, які є центрами мережі залежностей. Таким чином, вони вперше змогли кількісно показати зв'язки залежності між різними економічними секторами . Після цієї роботи методологія мережі залежностей була застосована для вивчення імунної системи, семантичних мереж, та функціональних мереж мозку.
Огляд Точніше кажучи, часткова кореляція пари (i, k) за заданим j – це кореляція між ними після належного віднімання кореляцій між i та j і між k та j. Визначена таким чином, різниця між кореляціями та частковими кореляціями забезпечує міру впливу вузла j на кореляцію. Отже, ми визначаємо вплив вузла j на вузол i, або залежність вузла i від вузла j − D ( i, j ) – це сума впливу вузла j на кореляції вузла i з усіма іншими вузлами.
У випадку топології мережі, аналіз базується на впливі видалення вузла на найкоротші шляхи між вузлами мережі. Більш конкретно, вплив вузла j на кожну пару вузлів (i, k) визначається як різниця між оберненою топологічною відстанню між цими вузлами за наявності вузла j та оберненою топологічною відстанню між ними за його відсутності. Далі вплив вузла j на вузол i, або залежність вузла i від вузла j − D(i,j), визначається як сума впливів вузла j на відстані між вузлом i та всіма іншими вузлами k.
Мережі залежності активності
Кореляції вузлів Міжвузлові кореляції можна розрахувати за формулою Пірсона:
Де і , , – активність вузлів i та j об'єкта n, μ – середнє значення, а sigma – стандартне відхилення профілів динаміки вузлів i та j. Варто зауважити, що міжвузлові кореляції (або для спрощення самі вузлові кореляції) для всіх пар вузлів визначають симетричну матрицю кореляції, елемент – це кореляція між вузлами i та j.
Часткові кореляції Далі отримані кореляції між вузлами використовуються для обчислення часткових кореляцій. Коефіцієнт часткової кореляції першого порядку є статистичним показником, який характеризує вплив третьої змінної на кореляцію між двома іншими змінними. Часткова кореляція між вузлами i та k відносно третього вузла — визначається як:
де і є кореляціями вузлів, визначеними вище.
Кореляційний вплив та кореляційна залежність Відносний вплив кореляцій і вузла j на кореляцію C(i,k) визначається як:
Це дозволяє уникнути тривіального випадку, за якого вузол j нібито має значний вплив на кореляцію, переважно через те, що і мають малі значення. Варто зазначити, що цю величину можна інтерпретувати або як залежність кореляції C(i,k) від вузла j (термін, який використовується в цьому контексті), або як вплив вузла j на кореляцію C(i,k).
Залежності активності вузла Далі визначаємо загальний вплив вузла j на вузол i, або залежність D(i,j) вузла i від вузла j як:
Як визначено, D(i,j) – це міра середнього впливу вузла j на кореляції C(i,k) для всіх вузлів k, відмінних від j . Залежності активності вузлів визначають матрицю залежностей D, елемент (i,j) якої є залежністю вузла i від вузла j. Хоча матриця кореляції C є симетричною матрицею, матриця залежностей D є несиметричною – оскільки вплив вузла j на вузол i не дорівнює впливу вузла i на вузол j . З цієї причини деякі методи, що використовуються в аналізі матриці кореляції (наприклад, PCA), повинні бути замінені або є менш ефективними. Однак існують інші методи, як ті, що використовуються тут, які можуть належним чином врахувати несиметричну природу матриці залежностей.
Мережі структурних залежностей Вплив шляху та залежність від відстані: відносний вплив вузла j на спрямований шлях – найкоротший топологічний шлях, кожен сегмент якого відповідає відстані 1, між вузлами i та k задано:
де і є найкоротшим спрямованим топологічним шляхом від вузла i до вузла k за наявності та відсутності вузла j відповідно.
Структурні залежності вузлів Далі визначаємо загальний вплив вузла j на вузол i, або залежність D ( i, j ) вузла i від вузла j як:
Як визначено, D (i, j) є мірою середнього впливу вузла j на спрямовані шляхи від вузла i до всіх інших вузлів k. Структурні залежності вузлів визначають матрицю залежностей D, елемент (i, j) якої є залежністю вузла i від вузла j або впливом вузла j на вузол i . Матриця залежностей D є несиметричною – оскільки вплив вузла j на вузол i не дорівнює впливу вузла i на вузол j.
Візуалізація мережі залежностей Матриця залежностей є зваженою матрицею суміжності, яка представляє повністю зв’язану мережу. Для фільтрації повністю зв’язаної мережі з метою виділення найбільш значущої інформації можуть застосовуватися різні алгоритми, зокрема пороговий підхідабо різні методи обрізання. Широко використовуваним методом побудови інформативного підграфа повної мережі є мінімальне остовне дерево (, MST)Rosario N. Mantegna, Hierarchical structure in Financial markets, Eur. Phys. J. B 11 (1), 193–197 (1999) Rosario N. Mantegna, Computer Physics Communications 121–122, 153–156 (1999)Guillermo J. Ortega, Rafael G. Sola and Jesus Pastor, Complex network analysis of Human ECoG data, Neuroscience Letters 447 (2-3), 129–133 (2008)Michele Tumminello, Claudia Coronnello, Fabrizio Lillo, Salvatore Miccichè and Rrosario N. Mantegna, Spanning trees and bootstrap reliability estimations in correlation based networks Douglas B. West, An Introduction to Graph Theory, edited by Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 2001. Іншим інформативним підграфом, який зберігає більший обсяг інформації порівняно з MST, є планарний максимально фільтрований граф (, PMFG)Michele Tumminello, Tomaso Aste, Tiziana Di Matteo and Rosario N. Mantegna, A tool for filtering information in complex systems, PNAS 102 (30), 10421–10426 (2005), що використовується в цьому дослідженні. Обидва методи ґрунтуються на ієрархічній кластеризації, а отримані підграфи включають усі N вузлів мережі, де ребра відображають найбільш релевантні кореляційні зв’язки. Підграф MST містить ребер без циклів, тоді як підграф PMFG містить ребра.
Посилання