Метод Шварцшильда або метод суперпозиції орбіт Шварцшильда — популярний в галактичній астрономії метод побудови рівноважної моделі зоряної системи шляхом розрахунку набоиру орбіт у них і заселення кожної з орбіт своєю зоряною популяцією. Цей метод є проміжним між аналітичними методами, заснованими на функції розподілу, та моделюванням задачі N тіл, яке описує рух окремих частинок.
Історія Цей метод вперше запропонував Мартін Шварцшильд, відомий дослідник внутрішньої структури зір і піонер інфрачервоної спектроскопії за допомогою повітняних куль. Більшість своїх відкриттів у галузі галактичної динаміки Мартін Швацшильд зробив, уже вийшовши на пенсію. 1979 року він використав цей метод, щоб побудувати моделі тривісних галактик.
Ідея методу Метод прагне побудувати самоузгоджену стаціонарну модель зоряної системи, яка має заданий тривимірний розподіл густини . Для цього простір, зайнятий зоряною системою, ділять на комірок, так що маса в -й комірці об'ємом має бути . Через відому густину обчислюють гравітаційний потенціал системи й інтегрують велику кількість орбіт — так звану бібліотеку орбіт. Ці орбіти повинні охоплювати широкий діапазон початкових умов, щоб добре заповнювти весь фазовий простір зоряної системи, і мають бути проінтегровані протягом часу, значно довшого за час перетину зорею зоряної системи.
Нехай — частка часу , яку i-та орбіта проводить у j-й комірці. Нехай на i-й орбіті розміщено багато рівномірно розподілених за орбітальною фазою зір сумарною масою , де — загальна маса галактики, а — деякий поки що невідомий ваговий коефіцієнт. Тоді маса в j-й комірці дорівнює . Побудована структура коректна з динамічної точки зору, коли для будь-якого j виконується співвідношення
Ці співвідношення утворюють систему з лінійних рівнянь для невідомих вагових коефіцієнтів . Всі вагові коефіцієнти мають бути невід'ємними, Брати й шукати єдиний розв'язок такої цілком визначеної задачі недоцільно: у цьому випадку майже завжди деякі коефіцієнти виявляться від'ємними, що не має фізичного сенсу. Тому зазвичай беруть значно більше орбіт, ніж просторових комірок, , і тоді розв'язки рівняння утворюють підпростір розмірності в -вимірному просторі векторів вагових коефіцієнтів . Система має розв'язок з усіма невід'ємними значеннями лише тоді, коли цей підпростір перетинає ту частину простору, де всі координати невід'ємні. Якщо такий перетин трапляється не лише в початку координат (що дуже малоймовірно), то система має не один, а одразу нескінченно багато розв'язків з усіма невід'ємними координатами, кожен з яких описує фізично прийнятну модель зоряної системи. З-поміж них обирають той, що максимізує деяку цільову функцію .
Варіанти цільової функції
Лінійна цільова функція Це найпростіший варіант, який використовував ще Шварцшильд 1979 року, обираючи коефіцієнти майже навмання. Така функція зводить задачу до лінійного програмування, для якого існує багато спеціалізованих програмних пакетів. Лінійна цільова функція завжди вибирає моделі на межі допустимого підпростору. Це часто призводить до концентрації більшості маси на невеликій частці орбіт бібліотеки й до дуже нерегулярної функції розподілу. Квадратична цільова функція Коефіцієнти обирають відповідно до очікувань про структуру зоряної системи: більші призводять до більших . Квадратична цільова функція зводить задачу до квадратичного програмування, для якого теж розроблені стандартні програмні пакети. Ентропія Це ще один популярний приклад нелінійної цільової функції, аналогічний ентропії Шеннона в теорії інформації або ентропії Гіббса в статистичній фізиці.
Узагальнення Застосовуючи метод Шварцшильда до сферично-симетричних систем, зручно розкладати зоряну систему не на окремі орбіти, а на цілі сімейства однакових за формою орбіт з різною орієнтацією, бо в межах кожного сімейства завдяки симетрії усі орбіти повинні мати однакову вагу.
Методом Шварцшильда також зручно моделювати кінематичні дані, наприклад, розподіл променевих швидкостей. Такий розподіл швидкостей можна розрахувати як лінійну функцію вагових коефіцієнтів , а потім як цільову функцію обрати , яка характеризує різницю модельного та спостережуваного розподілів променевих швидкостей і є квадратичною функцією від .
Застосування Метод Шварцшильда застосовують до моделювання динаміки зір в еліптичних галактиках, зокрема для уточнення форми зоряних орбіт та розподілу маси в них. Також метод Шваршильда, особливо його версія з використанням розподілу променевих швидкостей, є потужним інструментом для пошуку надмасивних чорних дір у центрах галактик, що допомагає визначити залежність M-σ, хоч результати і страждають від неточностей через погано відомі параметри морделі, такі як відношення маса/світність, тому опубліковані значення слід сприймати з певною обережністю.
Примітки
Література
Посилання
Bovy J., Dynamics and Astrophysics of Galaxies, Dynamics and Astrophysics of Galaxies