У математиці мішана крайова умова для диференціального рівняння з частинними похідними визначає крайову задачу, у якій розв'язок заданого рівняння має задовольняти різні граничні умови на неперетинних частинах межі області, де цю умову поставлено. Точніше, у мішаній крайовій задачі розв'язок має задовольняти умову Діріхле або умову Неймана, причому на кожній із неперетинних частин межі — лише одну з них.

Наприклад, нехай  — розв'язок диференціального рівняння з частинними похідними в області з межею . Кажуть, що він задовольняє мішану крайову умову, якщо межа складається з двох неперетинних частин і , таких що , і задовольняє такі рівняння: та де і  — задані функції, визначені на відповідних частинах межі.Очевидно, зовсім не обов'язково вимагати, щоб і були функціями: вони можуть бути розподілами або будь-якими іншими узагальненими функціями.

Мішана крайова умова відрізняється від умови Робена тим, що остання вимагає, щоб на всій межі області виконувалася лінійна комбінація умов Діріхле та Неймана, можливо, зі змінними (залежними від точки межі) коефіцієнтами.

Історія M. Wirtinger, dans une conversation privée, a attiré mon attention sur le probleme suivant: déterminer une fonction u vérifiant l'équation de Laplace dans un certain domaine (D) étant donné, sur une partie (S) de la frontière, les valeurs périphériques de la fonction demandée et, sur le reste (S′) de la frontière du domaine considéré, celles de la dérivée suivant la normale. Je me propose de faire connaitre une solution très générale de cet intéressant problème.Переклад: «Пан Віртінгер у приватній розмові звернув мою увагу на таку задачу: визначити функцію u, яка задовольняє рівняння Лапласа в деякій області (D), якщо на одній частині (S) її межі задано значення шуканої функції, а на решті (S′) межі розглядуваної області — значення її похідної за нормаллю. Я маю намір ознайомити з дуже загальним розв'язком цієї цікавої задачі».

— Станіслав Заремба, (Zaremba, 1910, § 1, с. 313)

Першу крайову задачу з мішаною крайовою умовою розв'язав Станіслав Заремба для рівняння Лапласа; за його власними словами, дослідити цю задачу йому запропонував Вільгельм Віртінгер.Zaremba, 1910, § 1, с. 313.

Див. також Граничні умови Діріхле Граничні умови Неймана Граничні умови Робена Задача Коші Крайова задача Рівняння Лапласа

Примітки

Джерела

Література

 — у цій праці Гаетано Фікера навів перші доведення теорем існування та єдиності розв'язку мішаної крайової задачі для загального самоспряженого еліптичного оператора другого порядку в досить загальних областях.

; російський переклад: