Хорда ( — струна) кола — відрізок, обидва кінці якого лежать на дузі кола. Якщо хорду нескінченно продовжити в обох напрямах до прямої, то така пряма називається січною. Перпендикуляр, проведений через середину хорди, називається ( — «стріла»).
У загальнішому розумінні хорда — це відрізок прямої, що сполучає дві точки будь-якої кривої, наприклад еліпса. Хорда, яка проходить через центр кола, є діаметром кола.
Хорда кола Хорда кола відтинає від кола частину, яка називається сегментом.
Дві точки на кінцях хорди визначають дугу кола.
Хорда кола має наступні властивості: Хорда найбільшої довжини проходить через центр кола, і є діаметром кола. Хорди будуть рівновіддаленими від центра кола тоді і тільки тоді, коли вони мають однакову довжину. Перпендикуляр до середини хорди проходить через центр кола. Радіус, перпендикулярний хорді, ділить хорду навпіл. Рівні хорди стягують рівні центральні кути кола. Хорда, що проходить через центр кола, називається діаметром і є найдовшою хордою цього кола.
Якщо продовження хорд AB і CD (січні) перетинаються в точці E, то виконується співвідношення (теорема про степінь точки). Еквівалентне твердження, при перетині двох хорд утворюється пара подібних з вертикальними кутами (див. малюнок — або ).
Хорди кривої другого порядку
Середини паралельних хорд будь-якої кривої другого порядку лежать на одній прямій ()Лисиця В. Т. Аналітична геометрія. Харків: ХНУ ім. В. Н. Каразіна, 2010. — 262 с.. Пряма, на якій лежить цей відрізок, називається діаметром кривої другого порядку.
У тригонометрії
Хорди широко використовувалися на ранніх етапах розвитку тригонометрії. Перша відома тригонометрична таблиця, складена Гіппархом у II столітті до н. е., до нашого часу не збереглася, але в ній було для кожних градусів. У II столітті н. е. Птолемей уклав значно докладнішу таблицю хорд у своїй астрономічній праці, подаючи значення хорди для кутів від до 180 градусів із кроком у градуса. Птолемей користувався колом діаметра 120 і наводив довжини хорд з точністю до двох шістдесяткових (основа 60) цифр після цілої частини.
Функція хорди визначається геометрично, як показано на рисунку. Хорда кута — це довжина хорди між двома точками на одиничному колі, які відповідають даному центральному куту. Кут θ відлічується в додатному напрямі й має належати інтервалу (у радіанній мірі). Функцію хорди можна пов'язати з сучасною функцією синуса, якщо одну з точок узяти як (1,0), а іншу — як (), а потім застосувати теорему Піфагора для обчислення довжини хорди:
Weisstein, Eric W. «Circular Segment». From MathWorld--A Wolfram Web Resource..
Останній крок використовує формулу половинного кута. Подібно до того, як сучасна тригонометрія побудована на функції синуса, антична тригонометрія була побудована на функції хорди. Вважається, що Гіппарх написав дванадцятитомну працю про хорди, яка повністю втрачена, отже, знання про них були досить ґрунтовними. У наведеній нижче таблиці (де c — довжина хорди, а D — діаметр кола) показано, що функція хорди задовольняє багатьом тотожностям, аналогічним відомим сучасним:
НазваСинусна формаХордова формаПіфагороваПоловинного кута Апофема (a) Кут(θ)
Існує також обернена функція:
Див. також Версинус і гаверсинус — Екзотичні тригонометричні функції Коловий граф — замкнена проста крива, в якій усі хорди, що ділять довжину дуги навпіл, мають однакову довжину. Круговий сегмент — частина сектора, що залишається після вилучення трикутника, утвореного центром кола та двома кінцями дуги кола на межі Парадокс Бертрана (теорія ймовірностей) — парадокс середньої довжини хорди Сегмент (геометрія) Сектор (геометрія)
, для хорди, що обертається всередині опуклої замкненої кривої
Примітки
Джерела
Посилання
Огляд історії тригонометрії (англ.) Тригонометричні функції (англ.) , зосереджено на історичному аспекті Хорда (кола) (англ.) — з інтерактивною анімацією