Бе́та-розпо́діл в теорії імовірностей та статистиці — двопараметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів.
Означення
Нехай розподіл випадкової величини задаєтся густиною ймовірності , що має вигляд: , де довільні фіксовані параметри, і — бета-функція. Тоді випадкова величина має бета-розподіл. Пишуть: .
Форма графіка
Форма графіка густини ймовірності бета-розподілу залежить від вибору параметрів і .
— графік опуклий і прямує до нескінченності на границях (червона крива); чи — графік строго спадний (синя крива) — графік строго опуклий; — графік є прямою лінією; — графік строго ввігнутий; графік збігається з графіком густини стандартного неперервного рівномірного розподілу; або — графік строго зростаючий (зелена крива); — графік строго опуклий; — графік є прямою линією; — графік строго ввігнутий; — график унімодальний (пурпурова та чорна криві)
У випадку, коли , густина ймовірності симетична відносно (червона та пурпурова криві), то .
Моменти
Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини , що має бета-розподіл, мають такий вигляд: , .
Зв'язок з іншими розподілами Стандартний неперервний рівномірний розподіл є окремим випадком бета-розподілу:
Якщо — незалежні гамма-розподілені випадкові величини, причому , а , то
Апріорний розподіл Голдейна
Розподіл B(0,0) запропонував Джон Бердон Сандерсон Голдейн, який зауважив що апріорна ймовірність що представляє повну непевність повинна бути пропорційною до p−1(1−p)−1. Функцію p−1(1−p)−1 можна розглядати як границю бета розподілу в якому обидва параметри наближаються до нуля, α, β → 0. Таким чином, p−1(1−p)−1 розділена на бета-функцію наближається до двоточкового розподілу Бернуллі в якому вся густина розподілу сконцентрована на кінцях, в 0 і 1, у вигляді дельта-функції Дірака, і нульова між ними. Це приклад розподілу ймовірностей для підкидання монети, якщо одна сторона - нуль, а інша - 1.
Примітки
Посилання