В лінійній алгебрі і функціональному аналізі для лінійного оператора
Ядром лінійного оператора називається наступна підмножина :
вона утворює лінійний підпростір в просторі
Образом лінійного відображення називається наступна підмножина :
вона утворює лінійний підпростір в просторі
Ядро оператора ще називають нуль-простором оператора і позначають:
Властивості
Два елементи з V мають однаковий образ в W тоді і тільки тоді коли їх різниця належить ядру L:
Тобто образ L є ізоморфним до фактор-простору в V утвореного ядром:
(див. Першу теорему про ізоморфізми для лінійних просторів).
Якщо в V визначений скалярний добуток, тоді V / ker(L) може бути представленим як ортогональне доповнення до ker(L) в V.
Простори скінченної розмірності і матриці
Коли V та W є просторами скінченної розмірності n та m відповідно, тоді в них можна вибрати базиси і задати лінійний оператор L множенням на матрицю A розміру m-на-n:
Визначення ядра матриці записується як , тобто еквівалентно множині розв'язків однорідної СЛАР.
Rank-nullity теорема Між розмірностями образу і ядра існує наступне співвідношення (rank-nullity theorem):
Число називається рангом і записується як чи
Ранг відображення збігається з рангом матриці відображення.
Основна теорема лінійної алгебри Матриця A ( rank A = r) вводить чотири фундаментальні підпростори:
{| class="standard" border="1" |- ! Назва ! Визначення ! Простір в якому існує ! Розмірність |- | простір стовпців чи образ | im(A) чи range(A) | | r |- | нульпростір чи ядро | ker(A) чи null(A) | | n — r |- | простір рядків чи кообраз() | im(AT) чи range(AT) | | r |- | лівий нульпростір чи коядро | ker(AT) чи null(AT) | | m — r
В , тобто, нульпростір є ортогональним доповненням простору рядків. В , тобто, лівий нульпростір є ортогональним доповненням простору стовпців.
Див. також Проєкційна матриця
Джерела