В абстрактній алгебрі, — фундаментальна теорема про гомоморфізми або перша теорема про ізоморфізм, — пов'язує структуру двох об'єктів, між якими встановлений гомоморфізм, а також — ядро та образ гомоморфізму.
Теорема про гомоморфізму використовується при доведенні теорем про ізоморфізм.
Версія для теорії груп
Нехай задано дві групи і та — гомоморфізм між ними. Нехай — нормальна підгрупа групи і — очевидний сур'єктивний гомоморфізм , де — фактор-група групи за підгрупою . Якщо — підмножина , то тоді існує єдиний гомоморфізм , такий, що .
Іншими словами, природна проєкція є універсальною серед інших гомоморфізмів групи , що відображають в нейтральний елемент.
Ця теорема описується наступною комутативною діаграмою:
Відображення є ін'єктивним тоді й лише тоді, коли . Тому, поклавши , одразу отримуємо першу теорему про ізоморфізм.
Також твердження фундаментальної теореми про гомоморфізми груп можна записати як "будь-який гомоморфний образ групи ізоморфний фактор-групі".
Інші версії теореми Схожі теореми мають місце для моноїдів, груп, кілець, модулів, векторних просторів та інших алгебраїчних структур.
Дивись також
Фактор-категорія
Література Beachy, John A. (1999), "Theorem 1.2.7 (The fundamental homomorphism theorem)", Introductory Lectures on Rings and Modules, London Mathematical Society Student Texts, vol.47, Cambridge University Press, p.27, ISBN 9780521644075. Grove, Larry C. (2012), "Theorem 1.11 (The Fundamental Homomorphism Theorem)", Algebra, Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, p. 11, ISBN 9780486142135. Jacobson, Nathan (2012), "Fundamental theorem on homomorphisms of -algebras", Basic Algebra II, Dover Books on Mathematics (2nd ed.), Courier Corporation, p.62, ISBN 9780486135212. Rose, John S. (1994), "3.24 Fundamental theorem on homomorphisms", A course on Group Theory [reprint of the 1978 original], Dover Publications, Inc., New York, pp.44--45, ISBN 0-486-68194-7, MR 1298629.