У математиці моментами функції називають певні кількісні характеристики, пов’язані з формою графіка функції.
Якщо функція описує густину маси, то: нульовий момент — це загальна маса, перший момент (нормований на загальну масу) — центр мас, другий момент — момент інерції.
Якщо функція є ймовірнісним розподілом, то: перший момент — математичне сподівання, другий центральний момент — дисперсія, третій стандартизований момент — асиметрія, четвертий стандартизований момент — крутість (чи ексцес).
Проблема моментів: для розподілу маси або ймовірності на обмеженому інтервалі сукупність усіх моментів (усіх порядків — від до ) однозначно визначає розподіл (задача моментів Гаусдорфа). На необмежених інтервалах це вже не завжди так (задача моментів Гамбургера).
Теорія ймовірностей
Моментом n-того порядку дискретної випадкової величини , яка приймає значення з ймовірністю , де , називається число , якщо цей ряд збігається абсолютно, тобто .
Величина називається абсолютним моментом випадкової величини .
Моментом n-того порядку неперервної випадкової величини з густиною , називається число , якщо інтеграл збігається абсолютно, тобто .
Якщо дана випадкова величина визначена на деякому імовірнісному просторі, то центра́льним моментом (k -го порядку) випадкової величини називається величина
якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.
Початковим моментом k-го порядку називається величина:
якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.
-им факторіальним моментом випадкової величини називається величина
якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.
Зауваження
Враховуючи лінійність математичного сподівання центральні моменти можна виразити через початкові, і навпаки. Наприклад:
Якщо визначені моменти -го порядку, то визначені і всі моменти нижчих порядків .
Геометрична інтерпретація деяких моментів
дорівнює математичному сподіванню випадкової величини і показує відносне розташування розподілу на числовій прямій. дорівнює дисперсії розподілу випадкової величини і показує розсіяння (розкид) довкола середнього значення. , будучи відповідним чином нормалізований є числовою характеристикою симетрії розподілу. Точніше, вираз
називається коефіцієнтом асиметрії. контролює, наскільки яскраво виражена верхівка розподілу в околі математичного сподівання. Величина
називається коефіцієнтом ексцесу розподілу в.в.
Обчислення моментів
Моменти можна обчислити безпосередньо шляхом інтегрування відповідної функції випадкової величини. Зокрема, для абсолютно неперервного розподілу із щільністю маємо:
якщо
,
а для дискретних розподілів із функцією ймовірностей :
якщо
Також початкові моменти випадкової величини можна обчислити використовуючи її характеристичну функцію :
Якщо розподіл такий, що для нього в деякому околі нуля визначена твірна функція моментів, , то початкові моменти можна обчислити використовуючи наступну формулу:
Можна також розглядати моменти в.в. для значень , що не є цілими числами. Такий момент, момент, що розглядується як функція від дісного аргументу , називається перетворення Мелліна.
Можна розглянути моменти багатовимірної випадкової величини. Тоді перший момент буде вектором тієї ж розмірності, другий — тензором другого порядку (див. матриця коваріації) над простором тієї ж розмірності (хоча можна розглянути і слід цієї матриці, що дає скалярне узагальнення дисперсії). Ітд.
Див. також Середнє степеневе Моменти зображення L-момент Метод моментів Твірна функція моментів
Джерела
Примітки