В теорії груп класом суміжності групи називається деяка множина, що визначається за допомогою деякого елемента даної групи і деякої її підгрупи. Розрізняють лівосторонні класи суміжності і правосторонні класи суміжності. Кількості лівосторонніх і правосторонніх класів суміжності рівні між собою і називаються індексом підгрупи.
Означення Нехай — деяка група, — її підгрупа. Множину називають лівостороннім класом суміжності по підгрупі для елемента , називають правостороннім класом суміжності по підгрупі для елемента .
Приклад Нехай G буде адитивною групою цілих Z = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} і H підгрупа mZ = {…, −2m, −m, 0, m, 2m, …}, де m — це додатне ціле. Тоді класи суміжності H в G — це m множин mZ, mZ+1, … mZ+(m−1), де mZ+a={…, −2m+a, −m+a, a, m+a, 2m+a, …}. Існує не більше ніж m класів суміжності, бо mZ+m=m(Z+1)=mZ. Клас суміжності mZ+a це клас рівності до a за модулем m.Joshi p. 323
Властивості тоді і лише тоді коли Справді оскільки то також З іншої сторони рівняння де завжди має розв'язок Якщо : то тоді Справді нехай Тоді: де остання рівність випливає з попередньої властивості. Якщо: тоді Припустимо Тоді: і оскільки то також ; З попередніх властивостей бачимо, що лівосторонні класи суміжностей утворюють розбиття групи і таким чином можна задати відношення еквівалентності: якщо
Справді маємо звідки: і Еквівалентні твердження з відповідними модифікаціями справедливі і для правосторонніх класів суміжності. Потужності всіх правосторонніх і лівосторонніх класів суміжності рівні порядку групиH. Дане твердження встановлюється за допомогою двох бієкцій:
Кількості правих і лівих класів суміжності (індекс підгрупи, позначається ) рівні між собою і виконується рівність: . (теорема Лагранжа).
Примітки
Див. також Група (алгебра) Нормальна підгрупа Теорема Лагранжа (теорія груп)
Література